完全平方數練習題

完全平方數練習題1

　　1、一個數與2940的積是完全平方數，那么這個數最小是()。

　　2、已知1×2×3×……×n+3是一個自然數的平方，n=( )。

　　3、有兩個兩位數，它們的差是56，它們的平方數末兩位數字相同，這兩個兩位數分別是()。

　　4、一個四位數的數碼都是由非零的偶數碼構成，它又恰好是某個偶數碼組成的數的平方，則這個四位數是()。

　　5、有一個自然數，它與168的和恰好等于某個數的平方;它與100的和恰好等于另一個數的平方，這個數是()。

完全平方數練習題2

　　奧數是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的'程度.讓我們一起來閱讀關于完全平方數的數論練習,感受奧數的奇異世界!

　　1、一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。

　　解：設此自然數為x，依題意可得

　　x-45=m^2;(1)

　　x+44=n^2(2)

　　(m,n為自然數)

　　(2)-(1)可得:

　　n^2-m^2=89或：(n-m)(n+m)=89

　　因為n+m>n-m

　　又因為89為質數，

　　所以：n+m=89;n-m=1

　　解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。

　　2、求證：四個連續(xù)的整數的積加上1，等于一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。

　　分析設四個連續(xù)的整數為，其中n為整數。欲證

　　是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。

　　證明設這四個整數之積加上1為m，則

　　m為平方數

　　而n(n+1)是兩個連續(xù)整數的積，所以是偶數;又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。

　　3、求證：11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(1972年基輔數學競賽題)。

　　分析形如的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的平方，即

　　或

　　在兩端同時減去1之后即可推出矛盾。

　　證明若，則

　　因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。

　　若，則

　　因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。

　　綜上所述，不可能是完全平方數。

　　另證由為奇數知，若它為完全平方數，則只能是奇數的平方。但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。

　　4、求滿足下列條件的所有自然數：

　　(1)它是四位數。

　　(2)被22除余數為5。

　　(3)它是完全平方數。

　　解：設，其中n,N為自然數，可知N為奇數。

　　11|N-4或11|N+4

　　或

　　k=1

　　k=2

　　k=3

　　k=4

　　k=5

　　所以此自然數為1369,2601,3481,5329,6561,9025。

　　5、甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數學邀請賽試題)?

　　解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數個10元，即完全平方數的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6。所以，的末位數字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。

　　為您提供的關于完全平方數的數論練習，希望給您帶來啟發(fā)!

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