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三角函數(shù)教案
作為一位不辭辛勞的人民教師，常常需要準(zhǔn)備教案，教案有利于教學(xué)水平的提高，有助于教研活動的開展。那么教案應(yīng)該怎么寫才合適呢？以下是小編整理的三角函數(shù)教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
三角函數(shù)教案1
本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：三角函數(shù)的周期性
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)與自我評估
1 掌握利用單位圓的幾何方法作函數(shù) 的圖象
2 結(jié)合 的圖象及函數(shù)周期性的定義了解三角函數(shù)的周期性，及最小正周期
3 會用代數(shù)方法求 等函數(shù)的周期
4 理解周期性的幾何意義
二、學(xué)習(xí)重點與難點
周期函數(shù)的概念， 周期的求解。
三、學(xué)法指導(dǎo)
1、 是周期函數(shù)是指對定義域中所有 都有
，即 應(yīng)是恒等式。
2、周期函數(shù)一定會有周期，但不一定存在最小正周期。
四、學(xué)習(xí)活動與意義建構(gòu)
五、重點與難點探究
例1、若鐘擺的高度 與時間 之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示
(1)求該函數(shù)的周期;
(2)求 時鐘擺的高度。
例2、求下列函數(shù)的周期。
(1) (2)
總結(jié)：(1)函數(shù) (其中 均為常數(shù)，且
的周期T= 。
(2)函數(shù) (其中 均為常數(shù)，且
的周期T= 。
例3、求證： 的`周期為 。
例4、(1)研究 和 函數(shù)的圖象，分析其周期性。
(2)求證： 的周期為 (其中 均為常數(shù)，
且
總結(jié)：函數(shù) (其中 均為常數(shù)，且
的周期T= 。
例5、(1)求 的周期。
(2)已知 滿足 ，求證： 是周期函數(shù)
課后思考：能否利用單位圓作函數(shù) 的圖象。
六、作業(yè)：
七、自主體驗與運用
1、函數(shù) 的周期為 ( )
A、 B、 C、 D、
2、函數(shù) 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、函數(shù) 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、函數(shù) 的周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
5、設(shè) 是定義域為R,最小正周期為 的函數(shù)，
若 ，則 的值等于 ()
A、1 B、 C、0 D、
6、函數(shù) 的最小正周期是 ，則
7、已知函數(shù) 的最小正周期不大于2，則正整數(shù)
的最小值是
8、求函數(shù) 的最小正周期為T，且 ，則正整數(shù)
的最大值是
9、已知函數(shù) 是周期為6的奇函數(shù)，且 則
10、若函數(shù) ，則
11、用周期的定義分析 的周期。
12、已知函數(shù) ，如果使 的周期在 內(nèi)，求
正整數(shù) 的值
13、一機械振動中，某質(zhì)子離開平衡位置的位移 與時間 之間的
函數(shù)關(guān)系如圖所示：
(1) 求該函數(shù)的周期;
(2) 求 時，該質(zhì)點離開平衡位置的位移。
14、已知 是定義在R上的函數(shù)，且對任意 有
成立，
(1) 證明： 是周期函數(shù);
(2) 若 求 的值。
三角函數(shù)教案2
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)
數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學(xué)科。因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。所以在學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則下，要充分揭示獲取知識和方法的思維過程。因此本節(jié)課我以建構(gòu)主義的“創(chuàng)設(shè)問題情境——提出數(shù)學(xué)問題——嘗試解決問題——驗證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發(fā)、類比、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的教學(xué)方法。在教學(xué)手段上，則采用多媒體輔助教學(xué)，將抽象問題形象化，使教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)的更加完美。
二.教材分析
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(人教a版)數(shù)學(xué)必修四，第一章第三節(jié)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)誘導(dǎo)公式中的公式(二)至公式(六).本節(jié)是第一課時,教學(xué)內(nèi)容為公式(二)、(三)、(四).教材要求通過學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式(一)的基礎(chǔ)上，利用對稱思想發(fā)現(xiàn)任意角 與終邊的對稱關(guān)系，發(fā)現(xiàn)他們與單位圓的交點坐標(biāo)之間關(guān)系，進而發(fā)現(xiàn)他們的三角函數(shù)值的關(guān)系，即發(fā)現(xiàn)、掌握、應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式(二)、(三)、(四).同時教材滲透了轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，為培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣提出了要求.為此本節(jié)內(nèi)容在三角函數(shù)中占有非常重要的地位.
三.學(xué)情分析
本節(jié)課的授課對象是本校高一(1)班全體同學(xué)，本班學(xué)生水平處于中等偏下，但本班學(xué)生具有善于動手的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，所以采用發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法應(yīng)該能輕松的完成本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.
四.教學(xué)目標(biāo)
(1).基礎(chǔ)知識目標(biāo)：理解誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)過程，掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式;
(2).能力訓(xùn)練目標(biāo)：能正確運用誘導(dǎo)公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及進行簡單的三角函數(shù)求值與化簡;
(3).創(chuàng)新素質(zhì)目標(biāo)：通過對公式的推導(dǎo)和運用，提高三角恒等變形的能力和滲透化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力;
(4).個性品質(zhì)目標(biāo)：通過誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，感受事物之間的普通聯(lián)系規(guī)律，運用化歸等數(shù)學(xué)思想方法，揭示事物的本質(zhì)屬性，培養(yǎng)學(xué)生的唯物史觀.
五.教學(xué)重點和難點
1.教學(xué)重點
理解并掌握誘導(dǎo)公式.
2.教學(xué)難點
正確運用誘導(dǎo)公式，求三角函數(shù)值，化簡三角函數(shù)式.
六.教法學(xué)法以及預(yù)期效果分析
“授人以魚不如授之以魚”， 作為一名老師,我們不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識,更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法, 如何實現(xiàn)這一目的,要求我們每一位教者苦心鉆研、認真探究.下面我從教法、學(xué)法、預(yù)期效果等三個方面做如下分析.
1.教法
數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，而不僅僅是數(shù)學(xué)活動的結(jié)果，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的.不僅僅是為了獲得數(shù)學(xué)知識，更主要作用是為了訓(xùn)練人的思維技能，提高人的思維品質(zhì).
在本節(jié)課的教學(xué)過程中，本人以學(xué)生為主題，以發(fā)現(xiàn)為主線，盡力滲透類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，采用提出問題、啟發(fā)引導(dǎo)、共同探究、綜合應(yīng)用等教學(xué)模式，還給學(xué)生“時間”、“空間”， 由易到難，由特殊到一般，盡力營造輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生體味學(xué)習(xí)的快樂和成功的喜悅.
2.學(xué)法
“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學(xué)習(xí)方法的人”，很多課堂教學(xué)常常以高起點、大容量、快推進的做法，以便教給學(xué)生更多的知識點，卻忽略了學(xué)生接受知識需要時間消化，進而泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與熱情.如何能讓學(xué)生最大程度的消化知識，提高學(xué)習(xí)熱情是教者必須思考的問題.
在本節(jié)課的教學(xué)過程中，本人引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)法為思考問題 共同探討 解決問題 簡單應(yīng)用 重現(xiàn)探索過程 練習(xí)鞏固.讓學(xué)生參與探索的全部過程，讓學(xué)生在獲取新知識及解決問題的方法后，合作交流、共同探索，使之由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動的自主學(xué)習(xí).
3.預(yù)期效果
本節(jié)課預(yù)期讓學(xué)生能正確理解誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)、證明過程，掌握誘導(dǎo)公式，并能熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式了解一些簡單的化簡問題.
七.教學(xué)流程設(shè)計
(一)創(chuàng)設(shè)情景
1.復(fù)習(xí)銳角300，450，600的三角函數(shù)值;
2.復(fù)習(xí)任意角的三角函數(shù)定義;
3.問題:由 ，你能否知道sin2100的值嗎?引如新課.
設(shè)計意圖
自信的鼓勵是增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，簡單易做的題加強了每個學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，具體數(shù)據(jù)問題的出現(xiàn)，讓學(xué)生既有好像會做的心理但又有迷惑的茫然，去發(fā)掘潛力期待尋找機會證明我能行，從而思考解決的辦法.
(二)新知探究
1. 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)300角的終邊與2100角的終邊之間有什么關(guān)系;
2.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)300角的終邊和2100角的終邊與單位圓的交點為 、 的坐標(biāo)有什么關(guān)系;
3.sin2100與sin300之間有什么關(guān)系.
設(shè)計意圖
由特殊問題的引入，使學(xué)生容易了解，實現(xiàn)教學(xué)過程的平淡過度,為同學(xué)們探究發(fā)現(xiàn)任意角 與 的三角函數(shù)值的關(guān)系做好鋪墊.
(三)問題一般化
三角函數(shù)教案3
一、教學(xué)目標(biāo)：
1、知識與技能
（1） 使學(xué)生掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；
�。�2）已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；
�。�3）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；
（4）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式；
（5）牢固掌握同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學(xué)生分析，解決三角問題的能力；
�。�6）靈活運用同角三角函數(shù)關(guān)系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力，進一步樹立化歸思想方法；
（7）掌握恒等式證明的一般方法。
2、過程與方法
由圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，利用三角函數(shù)線，探究同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系；學(xué)習(xí)已知一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式等。通過例題講解，總結(jié)方法。通過做練習(xí)，鞏固所學(xué)知識。
3、情態(tài)與價值
通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，牢固掌握同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學(xué)生分析，解決三角問題的`能力；進一步樹立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法。
二、教學(xué)重、難點
重點：公式及的推導(dǎo)及運用：
�。�1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一個，求其余兩個；
（2）化簡三角函數(shù)式；
（3）證明簡單的三角恒等式。
難點： 根據(jù)角α終邊所在象限求出其三角函數(shù)值；選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明三角恒等式。
三、學(xué)法與教學(xué)用具
利用三角函數(shù)線的定義， 推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： 及，并靈活應(yīng)用求三角函數(shù)值，化減三角函數(shù)式，證明三角恒等式等。
教學(xué)用具：圓規(guī)、三角板、投影
四、教學(xué)設(shè)想
【創(chuàng)設(shè)情境】
與初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．
【探究新知】
1、探究：三角函數(shù)是以單位圓上點的坐標(biāo)來定義的，你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，討論一
下同一個角不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？
如圖：以正弦線，余弦線和半徑三者的長構(gòu)成直角三角形，而且。由勾股定理由，因此，即。
根據(jù)三角函數(shù)的定義，當(dāng)時，有。
這就是說，同一個角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切。
2、例題講評
例6。已知，求的值。
三者知一求二，熟練掌握。
3、鞏固練習(xí)頁第1，2，3題
4、例題講評
例7。求證： 。
通過本例題，總結(jié)證明一個三角恒等式的方法步驟。
5、鞏固練習(xí)頁第4，5題
6、學(xué)習(xí)小結(jié)
（1）同角三角函數(shù)的關(guān)系式的前提是“同角”，因此，．
�。�2）利用平方關(guān)系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要就角所在象限進行分類討論．
五、評價設(shè)計
�。�1）作業(yè)：習(xí)題1。2A組第10，13題。
�。�2）熟練掌握記憶同角三角函數(shù)的關(guān)系式，試將關(guān)系式變形等，得到其他幾個常用的關(guān)系式；注意三角恒等式的證明方法與步驟。
三角函數(shù)教案4
【教學(xué)目標(biāo)：】
1．通過對初中銳角三角函數(shù)定義的回憶，掌握任意角三角函數(shù)的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)值．
2．掌握已知角 終邊上一點坐標(biāo)，求四個三角函數(shù)值．（即給角求值問題）
【教學(xué)重點：】
任意角的三角函數(shù)的定義．
【教學(xué)難點：】
任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)的幾何表示．
【教學(xué)用具：】
直尺、圓規(guī)、投影儀．
【教學(xué)步驟：】
1．設(shè)置情境
角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數(shù)呢？本節(jié)課就來討論這一問題．
2．探索研究
�。�1）復(fù)習(xí)回憶銳角三角函數(shù)
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當(dāng)角 是一個任意角時，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示．
�。�2）任意角的三角函數(shù)定義
如圖1，設(shè) 是任意角， 的終邊上任意一點 的坐標(biāo)是 ，當(dāng)角 在第一、二、三、四象限時的'情形，它與原點的距離為 ，則 ．
定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．
�、诒戎� 叫做 的余弦，記作 ，即 ．
圖1
③比值 叫做 的正切，記作 ，即 ．
同時提供顯示任意角的三角函數(shù)所在象限的課件
提問：對于確定的角 ，這三個比值的大小和 點在角 的終邊上的位置是否有關(guān)呢？
利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個比值的大小與 點在角 的終邊上的位置無關(guān)，只與角 的大小有關(guān)．
請同學(xué)們觀察當(dāng) 時， 的終邊在 軸上，此時終邊上任一點 的橫坐標(biāo) 都等于0，所以 無意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義．
④比值 叫做 的余切，記作 ，則 ．
⑤比值 叫做 的正割，記作 ，則 ．
�、薇戎� 叫做 的余割，記作 ，則 ．
可以看出：當(dāng) 時， 的終邊在 軸上，這時 的縱坐標(biāo) 都等于0，所以 與 的值不存在，當(dāng) 時， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個確定的實數(shù)，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．
（3）三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)
對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應(yīng)的比值各是一個確定的實數(shù)，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，當(dāng)采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數(shù)，這是一個實數(shù)，所以這幾種三角函數(shù)也都可以看成是以實數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．
即：實數(shù)→角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）→三角函數(shù)值（實數(shù)）
�。�4）三角函數(shù)的一種幾何表示
利用單位圓有關(guān)的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，如下圖3．
圖3
設(shè)任意角 的頂點在原點 ，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點 ，過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點 作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設(shè)它與角 的終邊（當(dāng) 為第一、四象限時）或其反向延長線（當(dāng) 為第二、三象限時）相交于 ，當(dāng)角 的終邊不在坐標(biāo)軸上時，我們把 ， 都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有：
這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段 叫做角 的正弦線、余弦線、正切線．當(dāng)角 的終邊在 軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；當(dāng)角 的終邊在 軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在．
�。�5）例題講評
三角函數(shù)教案5
教學(xué)目的：
⒈掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；
2 通過運用公式的訓(xùn)練過程，培養(yǎng)學(xué)生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性；
3 注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；在解決三角函數(shù)化簡問題過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力．
教學(xué)重點：
同角三角函數(shù)的`基本關(guān)系
教學(xué)難點：
(1)已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時正負號的選擇；
(2)三角函數(shù)式的化簡；(3)證明三角恒等式．
授課類型：
新授課
知識回顧：
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式:
典型例題：
例1．已知sin =2，求α的其余三個三角函數(shù)值．
例2．已知： 且 ，試用定義求 的其余三個三角函數(shù)值．
例3．已知角 的終邊在直線=3x上，求sin 和cs 的值．
說明：已知某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值時要注意：
(1)角所在的象限；
(2)用平方關(guān)系求值時，所求三角函數(shù)的符號由角所在的象限決定；
(3)若題設(shè)中已知角的某個三角函數(shù)值是用字母給出的，則求其他函數(shù)值時，要對該字母分類討論．
小結(jié)：
幾種技巧
課后作業(yè)：
板書設(shè)計（略）
課后記：
三角函數(shù)教案6
一、知識與技能
1. 會用三角函數(shù)線分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值
2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;
3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題
二、過程與方法
1.借助幾何畫板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力;
2.讓學(xué)生從所學(xué)知識基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.
三、情感、態(tài)度與價值觀
1.通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究獲取知識.
2.通過三角函數(shù)線學(xué)習(xí)，使學(xué)生進一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，拓展思維空間
教學(xué)重點：三角函數(shù)線的作法及其簡單應(yīng)用
教學(xué)難點：利用與單位圓有關(guān)的.有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來.
三角函數(shù)教案7
一.教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
�。�1）能夠借助三角函數(shù)的定義及單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。
�。�2）能夠運用誘導(dǎo)公式，把任意角的三角函數(shù)的化簡、求值問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的化簡、求值問題。
2．過程與方法
（1）經(jīng)歷由幾何直觀探討數(shù)量關(guān)系式的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和概括能力。
�。�2）通過對誘導(dǎo)公式的探求和運用，培養(yǎng)化歸能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
3．情感、態(tài)度、價值觀
�。�1）通過對誘導(dǎo)公式的探求，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力、鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。
�。�2）在誘導(dǎo)公式的探求過程中，運用合作學(xué)習(xí)的方式進行，培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神。
二.教學(xué)重點與難點
教學(xué)重點:探求π－a的誘導(dǎo)公式。π＋a與－a的誘導(dǎo)公式在小結(jié)π－a的誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)過程的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生推出。
教學(xué)難點:π＋a，－a與角a終邊位置的幾何關(guān)系，發(fā)現(xiàn)由終邊位置關(guān)系導(dǎo)致（與單位圓交點）的坐標(biāo)關(guān)系，運用任意角三角函數(shù)的定義導(dǎo)出誘導(dǎo)公式的“研究路線圖”。
三.教學(xué)方法與教學(xué)手段
問題教學(xué)法、合作學(xué)習(xí)法，結(jié)合多媒體課件
四.教學(xué)過程
角的概念已經(jīng)由銳角擴充到了任意角，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個具體的問題。
�。ㄒ唬﹩栴}提出
如何將任意角三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為0°~360°角三角函數(shù)求值問題。
【問題1】求390°角的正弦、余弦值.
一般地，由三角函數(shù)的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，三角函數(shù)看重的就是終邊位置關(guān)系。即有：sin(a+k·360°) = sinα，cos(a+k·360°) = cosα， (k∈Z)
tan(a+k·360°) = tanα。
這組公式用弧度制可以表示成sin(a+2kπ) = sinα，cos(a+2kπ) = cosα， (k∈Z) (公式一)
tan(a+2kπ) = tanα。
�。ǘ﹪L試推導(dǎo)
如何利用對稱推導(dǎo)出角π-a與角a的三角函數(shù)之間的關(guān)系。
由上一組公式，我們知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值一定相等。反過來呢？如果兩個角的.三角函數(shù)值相等，它們的終邊一定相同嗎?比如說：
【問題2】你能找出和30°角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？
角π-a與角a的終邊關(guān)于y軸對稱,有
sin(π-a) = sina，cos(π-a) =-cosa，（公式二）
tan(π-a) =-tana。
〖思考〗請大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的?
因為與角a終邊關(guān)于y軸對稱是角π-a，利用這種對稱關(guān)系，得到它們的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。于是，我們就得到了角π-a與角a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，進而，就得到我們研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路線圖：角間關(guān)系→對稱關(guān)系→坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系。
�。ㄈ┳灾魈骄�
如何利用對稱推導(dǎo)出π+a,-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。
剛才我們利用單位圓，得到了終邊關(guān)于y軸對稱的角π-a與角a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，下面我們還可以研究什么呢？
【問題3】兩個角的終邊關(guān)于x軸對稱,你有什么結(jié)論?兩個角的終邊關(guān)于原點對稱呢？
角-a與角a的終邊關(guān)于x軸對稱，有：
sin(-a) =-sina，cos(-a) = cosa，（公式三）
tan(-a) =-tana。
角π+a與角a終邊關(guān)于原點O對稱，有：
sin(π +a) =-sina，cos(π +a) =-cosa，（公式四）
tan(π +a) = tana。
上面的公式一~四都稱為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。
�。ㄋ模┖唵螒�(yīng)用
例求下列各三角函數(shù)值：
(1) sinp； (2) cos(-60°)；（3）tan(-855°)
（五）回顧反思
【問題4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導(dǎo)公式的?研究的過程中，你有哪些體會?
知識上，學(xué)會了四組誘導(dǎo)公式；思想方法層面：誘導(dǎo)公式體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想；誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊具有某種對稱關(guān)系的兩個角三角函數(shù)之間的關(guān)系。主要體現(xiàn)了化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。具體可以表示如下：
�。┓謱幼鳂I(yè)
1、閱讀課本，體會三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程中的思想方法；
2、必做題 課本23頁13
3、選做題
�。�1）你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導(dǎo)到另外一組公式嗎？
�。�2）角α和角β的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系，你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系嗎？
三角函數(shù)教案8
【教學(xué)課題】:已知三角函數(shù)值求角
【教學(xué)目標(biāo)】:了解反三角函數(shù)的定義，掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角
【教學(xué)重點】:掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角
【教學(xué)難點】:反三角函數(shù)的定義
【教學(xué)過程】:
一．問題的提出：
在我們的學(xué)習(xí)中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我們?nèi)绾伪硎灸兀肯喈?dāng)于中如何用來表示，這是一個反解的過程，由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性，它們不存在反函數(shù)，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個區(qū)間滿足：
�。�1）包含銳角；（2）具有單調(diào)性；（3）能取得三角函數(shù)值域上的所有值。
顯然對，這樣的.區(qū)間是；對，這樣的區(qū)間是；對，這樣的區(qū)間是；
二．新課的引入：
1．反正弦定義：
反正弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.
對于注意：
�。�1）（相當(dāng)于原來函數(shù)的值域）；
（2）（相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域）；
即：相當(dāng)于內(nèi)的一個角，這個角的正弦值為。
反正弦：符合條件（）的角，叫做實數(shù)的反正弦，記作：。其中，。
例如：
由此可見：書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的，當(dāng)然理解了反正弦函數(shù)，能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識。
�。玻从嘞叶x：
反余弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作：.
對于注意：
�。�1）（相當(dāng)于原來函數(shù)的值域）；
�。�2）（相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域）；
�。�3）；
即：相當(dāng)于內(nèi)的一個角，這個角的余弦值為。
反余弦：符合條件（）的角，叫做實數(shù)的反正弦，記作：。其中，。
例如：，，由于，故為負值時，表示的是鈍角。
�。常凑卸x：
反正切函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.
對于注意：
（1）（相當(dāng)于原來函數(shù)的值域）；
（2）（相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域）；
即：相當(dāng)于內(nèi)的一個角，這個角的正切值為。
反正切：符合條件（）的角，叫做實數(shù)的反正切，記作：。其中，。
對于反三角函數(shù)，大家切記：它們不是三角函數(shù)的反函數(shù)，需要對定義域加以改進后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱這一特性，得到反三角函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)新教材的要求，這里就不再講了。
三角函數(shù)教案9
一：【課前預(yù)習(xí)】
(一)：【知識梳理】
1.直角三角形的邊角關(guān)系(如圖)
(1)邊的關(guān)系(勾股定理)：AC2+BC2=AB2;
(2)角的關(guān)系：B=
(3)邊角關(guān)系：
�、伲�
�、冢轰J角三角函數(shù)：
A的正弦= ;
A的余弦= ,
A的正切=
注：三角函數(shù)值是一個比值.
2.特殊角的三角函數(shù)值.
3.三角函數(shù)的關(guān)系
(1) 互為余角的三角函數(shù)關(guān)系.
sin(90○-A)=cosA， cos(90○-A)=sin A tan(90○-A)= cotA
(2) 同角的三角函數(shù)關(guān)系.
平方關(guān)系：sin2 A+cos2A=l
4.三角函數(shù)的大小比較
�、僬摇⒄惺窃龊瘮�(shù).三角函數(shù)值隨角的增大而增大，隨角的減小而減小.
�、谟嘞沂菧p函數(shù).三角函數(shù)值隨角的增大而減小，隨角的'減小而增大。
(二)：【課前練習(xí)】
1.等腰直角三角形一個銳角的余弦為( )
A. D.l
2.點M(tan60，-cos60)關(guān)于x軸的對稱點M的坐標(biāo)是( )
3.在 △ABC中，已知C=90，sinB=0.6，則cosA的值是( )
4.已知A為銳角，且cosA0.5，那么( )
A.060 B.6090 C.030 D.3090
二：【經(jīng)典考題剖析】
1.如圖，在Rt△ABC中，C=90，A=45，點D在AC上，BDC=60，AD=l，求BD、DC的長.
2.先化簡，再求其值， 其中x=tan45-cos30
3. 計算：①sin248○+ sin242○-tan44○tan45○tan 46○ ②cos 255○+ cos235○
4.比較大小(在空格處填寫或或=)
若=45○，則sin________cos
若45○，則sin cos
若45，則 sin cos.
5.⑴如圖①、②銳角的正弦值和余弦值都隨著銳角的確定而確定，變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值變化的規(guī)律;
�、聘鶕�(jù)你探索到的規(guī)律，試比較18○、34○、50○、61○、88○這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大小.
三：【課后訓(xùn)練】
1. 2sin60-cos30tan45的結(jié)果為( )
A. D.0
2.在△ABC中，A為銳角，已知 cos(90-A)= ，sin(90-B)= ，則△ABC一定是( )
A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.等腰三角形
3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3，0)點B(0，-4),則cosOAB等于__________
4.cos2+sin242○ =1，則銳角=______.
5.在下列不等式中，錯誤的是( )
A.sin45○sin30○;B.cos60○tan30○;D.cot30○
6.如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則tanB的值是()
7.如圖所示，在菱形ABCD中，AEBC于 E點，EC=1，B=30，求菱形ABCD的周長.
8.如圖所示，在△ABC中，ACB=90，BC=6，AC=8 ，CDAB，求：①sinACD 的值;②tanBCD的值
9.如圖 ，某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹B，小明想測量A/B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45方向上，測得B在北偏東32方向上，且量得B、C之間的距離為100米，根據(jù)上述測量結(jié)果，請你幫小明計算A山之間的距離是多少?(結(jié)果精確至1米.參考數(shù)據(jù)：sin32○0.5299，cos32○0.8480)
10.某住宅小區(qū)修了一個塔形建筑物AB，如圖所示，在與建筑物底部同一水平線的C處，測得點A的仰角為45，然后向塔方向前進8米到達D處，在D處測得點A的仰角為60，求建筑物的高度.(精確0.1米)
三角函數(shù)教案10
第二十四教時
教材：倍角公式，推導(dǎo)和差化積及積化和差公式
目的：繼續(xù)復(fù)習(xí)鞏固倍角公式，加強對公式靈活運用的`訓(xùn)練;同時，讓學(xué)生推導(dǎo)出和差化積和積化和差公式，并對此有所了解。
過程：
一、 復(fù)習(xí)倍角公式、半角公式和萬能公式的推導(dǎo)過程：
例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 +
(《教學(xué)與測試》P115 例三)
解：
又∵tan2 0，tan 0 ，
2 + =
例二、 已知sin cos = ， ，求 和tan的值
解：∵sin cos =
化簡得：
∵ 即
二、 積化和差公式的推導(dǎo)
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
這套公式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，不要求記憶，它的優(yōu)點在于將積式化為和差，有利于簡化計算。(在告知公式前提下)
例三、 求證：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
證：左邊 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右邊
原式得證
三、 和差化積公式的推導(dǎo)
若令 + = ， = ，則 ， 代入得：
這套公式稱為和差化積公式，其特點是同名的正(余)弦才能使用，它與積化和差公式相輔相成，配合使用。
例四、 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值
解：∵cos cos = ， ①
sin sin = ， ②
四、 小結(jié)：和差化積，積化和差
五、 作業(yè)：《課課練》P3637 例題推薦 13
P3839 例題推薦 13
P40 例題推薦 13
三角函數(shù)教案11
一、教學(xué)內(nèi)容
本節(jié)主要內(nèi)容為：經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算。
二、教學(xué)目標(biāo)
1、經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行有關(guān)推理，進一步體會三角函數(shù)的意義。
2、能夠進行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算。
3、能夠根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)的銳角的大小。
三、過程與方法
通過進行有關(guān)推理，探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。在具體教學(xué)過程中，教師可在教材的基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展，使得內(nèi)容更為豐富，教師可以運用和學(xué)生共同探究式的教學(xué)方法，學(xué)生可以采取自主探討式的.學(xué)習(xí)方法．
四、教學(xué)重點和難點
重點：進行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算
難點：記住30°、45°、60°角的三角函數(shù)值
五、教學(xué)準(zhǔn)備
教師準(zhǔn)備
預(yù)先準(zhǔn)備教材、教參以及多媒體課件
學(xué)生準(zhǔn)備
教材、同步練習(xí)冊、作業(yè)本、草稿紙、作圖工具等
六、教學(xué)步驟
教學(xué)流程設(shè)計
教師指導(dǎo)學(xué)生活動
1。新章節(jié)開場白。 1。進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。
2。進行教學(xué)。 2。配合學(xué)習(xí)。
3�？偨Y(jié)和指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)。 3記錄相關(guān)內(nèi)容，完成練習(xí)。
教學(xué)過程設(shè)計
1、從學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)提出問題
2、師生共同研究形成概念
3、隨堂練習(xí)
4、小結(jié)
5、作業(yè)
板書設(shè)計
1、敘述三角函數(shù)的意義
2、30°、45°、60°角的三角函數(shù)值
3、例題
七、課后反思
本節(jié)課基本上能夠突出重點、弱化難點，在時間上也能掌控得比較合理，學(xué)生也比較積極投入學(xué)習(xí)中，但是學(xué)生好像并不是掌握得很好，在今后的教學(xué)中應(yīng)該再加強關(guān)于這方面的學(xué)習(xí)。
三角函數(shù)教案12
教學(xué)目的：
知識目標(biāo)：1.理解三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線.
2.理解握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.?
3.理解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
能力目標(biāo)：
1.掌握三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線.
2.掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.?
3.掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
授課類型：復(fù)習(xí)課
教學(xué)模式：講練結(jié)合
教 具：多媒體、實物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1、三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線，各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.誘導(dǎo)公式第一組.
2.確定下列各式的符號
(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5
3. .x取什么值時, 有意義?
4．若三角形的兩內(nèi)角，滿足sincs 0，則此三角形必為……（ ）
A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能
5．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin+cs 0 B：tansin 0
C：csct 0 D：ctcsc 0
6．已知是第三象限角且，問是第幾象限角？
二、講解新課：
1、求下列函數(shù)的`定義域：
�。�1） ； （2）
2、已知 ，則為第幾象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的符號；
�。�2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,試指出θ所在的象限，并用圖形表示出 的取值范圍.
4、求證角θ為第三象限角的充分必要條件是
證明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或終邊在ｙ軸的非正半軸上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ為第三象限角.?
5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．
三、鞏固與練習(xí)
1 求函數(shù) 的值域
2 設(shè)是第二象限的角，且 的范圍.
四、小結(jié)：
五、課后作業(yè)：
1、利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定下列各角的取值范圍：
(1) sinα 2、角α的終邊上的點P與A（a,b）關(guān)于x軸對稱 ，角β的終邊上的點Q與A關(guān)于直線=x對稱.求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值. 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo)： 1.了解三角函數(shù)的兩種定義方法； 2.知道三角函數(shù)線的基本做法. 二、預(yù)習(xí)內(nèi)容： 根據(jù)課本本節(jié)內(nèi)容，完成預(yù)習(xí)目標(biāo)，完成以下各個概念的填空. 三、提出疑惑 同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點疑惑內(nèi)容 課內(nèi)探究學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) �。�1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）； �。�2）理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法； （3）了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來； �。�4）掌握并能初步運用公式一； �。�5）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù). 二、重點、難點 重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）. 難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；三角函數(shù)線的正確理解. 三、學(xué)習(xí)過程 （一）復(fù)習(xí)： 1、初中銳角的三角函數(shù)______________________________________________________ 2、在Rt△ABC中，設(shè)A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為_______________________________________________ �。ǘ┬抡n： 1．三角函數(shù)定義 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個任意角，α終邊上任意一點 （除了原點）的坐標(biāo)為 ，它與原點的距離為 ，那么 �。�1）比值_______叫做α的正弦，記作_______，即________ �。�2）比值_______叫做α的余弦，記作_______，即_________ �。�3）比值_______叫做α的正切，記作_______，即_________； 2．三角函數(shù)的定義域、值域 函 數(shù)定 義 域值 域 3．三角函數(shù)的符號 由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，我們可以得知： �、僬抑� 對于第一、二象限為_____（ ），對于第三、四象限為____（ ）； �、谟嘞抑� 對于第一、四象限為_____（ ），對于第二、三象限為____（ ）； �、壅兄� 對于第一、三象限為_______（ 同號），對于第二、四象限為______（ 異號）． 4．誘導(dǎo)公式 由三角函數(shù)的定義，就可知道：__________________________ 即有：_________________________ _________________________ _________________________ 5．當(dāng)角的終邊上一點 的坐標(biāo)滿足_______________時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。 設(shè)任意角 的頂點在原點 ，始邊與 軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點 過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點 作單位圓的切線，它與角 的.終邊或其反向延長線交與點 . 由四個圖看出： 當(dāng)角 的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段 ，于是有 ，_______ ，________ �。甠________ 我們就分別稱有向線段 為正弦線、余弦線、正切線。 （三）例題 例1．已知角α的終邊經(jīng)過點 ，求α的三個函數(shù)制值。 變式訓(xùn)練1：已知角 的終邊過點 ，求角 的正弦、余弦和正切值. 例2．求下列各角的三個三角函數(shù)值： （1） ； （2） ； （3） ． 變式訓(xùn)練2：求 的正弦、余弦和正切值. 例3．已知角α的終邊過點 ，求α的三個三角函數(shù)值。 變式訓(xùn)練3： 求函數(shù) 的值域 例4．.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大�。� 1. 與 2. tan 與tan �。ㄋ模�、小結(jié) 課后練習(xí)與提高 一、選擇題 1. 是第二象限角，P（ ， ）為其終邊上一點，且 ，則 的值為（ ） A. B. C. D. 2. 是第二象限角，且 ，則 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3、如果 那么下列各式中正確的是（ ） A. B. C. D. 二、填空題 4. 已知 的終邊過（ 9， ）且 ， ，則 的取值范圍是 。 5. 函數(shù) 的定義域為 。 6. 的值為 （正數(shù)，負數(shù)，0，不存在） 三、解答題 7.已知角α的終邊上一點P的坐標(biāo)為（ ）（ ），且 ，求 參考答案 一、選擇題： 1. A 2 . C 3． D 二、填空題 4. 5. 6. 負數(shù) 三、解答題 7. 解：由題意，得： 解得： ，所以 一、教學(xué)內(nèi)容：橢圓的方程 要求：理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)． 重點：橢圓的方程與幾何性質(zhì)． 難點：橢圓的方程與幾何性質(zhì)． 二、點： 1、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形和性質(zhì) 定 義 第一定義：平面內(nèi)與兩個定點 ）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 第二定義： 平面內(nèi)到動點距離與到定直線距離的比是常數(shù)e．（0 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖 形 焦點在x軸上 焦點在y軸上 性 質(zhì) 焦點在x軸上 范 圍： 對稱性： 軸、 軸、原點． 頂點： ， ． 離心率：e 概念：橢圓焦距與長軸長之比 定義式： 范圍： 2、橢圓中a，b，c，e的關(guān)系是：（1）定義：r1＋r2=2a �。�2）余弦定理： ＋ －2r1r2cos（3）面積： = r1r2 sin ?2c y0 （其中P（ ） 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1、橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，焦點坐標(biāo)是 ，長軸長為___2____，短軸長為2、橢圓 的值是__3或5__； 3、兩個焦點的坐標(biāo)分別為 ___； 4、已知橢圓 上一點P到橢圓一個焦點 的距離是7，則點P到另一個焦點5、設(shè)F是橢圓的一個焦點，B1B是短軸， ，則橢圓的離心率為6、方程 =10，化簡的結(jié)果是 ； 滿足方程7、若橢圓短軸上的兩個三等分點與兩個焦點構(gòu)成一個正方形，則橢圓的離心率為 8、直線y=kx－2與焦點在x軸上的橢圓9、在平面直角坐標(biāo)系 頂點 ，頂點 在橢圓 上，則10、已知點F是橢圓 的右焦點，點A（4，1）是橢圓內(nèi)的一點，點P（x，y）（x≥0）是橢圓上的一個動點，則 的最大值是 8 ． 【典型例題】 例1、（1）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，短軸長為4，求橢圓的方程． 解：設(shè)方程為 ． 所求方程為 （2）中心在原點，焦點在x軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到右頂點的距離為1，求橢圓的方程． 解：設(shè)方程為 ． 所求方程為（3）已知三點P，（5，2），F(xiàn)1 （-6，0），F(xiàn)2 （6，0）．設(shè)點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線y=x的對稱點分別為 ，求以 為焦點且過點 的橢圓方程 ． 解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ∴所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（4）求經(jīng)過點M（ ， 1）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：設(shè)方程為 例2、如圖所示，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星運行軌道是以地心（地球的中心） 為一個焦點的橢圓，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384km，并且 、A、B在同一直線上，設(shè)地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星運行的軌道方程 （精確到1km）． 解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，使點A、B、 在 軸上， 則 =OA－O = A=6371＋439=6810 解得 =7782.5， =972.5 衛(wèi)星運行的軌道方程為 例3、已知定圓 分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據(jù)圖形，用符號表示此結(jié)論： 上式可以變形為 ，又因為 ，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓 解：知圓可化為：圓心Q（3，0）， 設(shè)動圓圓心為 ，則 為半徑 又圓M和圓Q內(nèi)切，所以 ， 即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，且PQ中點為原點，所以 ，故動圓圓心M的軌跡方程是： 例4、已知橢圓的焦點是 ｜和｜（1）求橢圓的方程； �。�2）若點P在第三象限，且∠ =120°，求 ． 選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識，靈活運用等比定理進行解題． 解：（1）由題設(shè)｜ ｜=2｜ ｜=4 ∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴橢圓的方程為 ． �。�2）設(shè)∠ ，則∠ =60°－θ 由正弦定理得： 由等比定理得： 整理得： 故 說明：曲線上的點與焦點連線構(gòu)成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關(guān)的問題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質(zhì)進行處理．對于第二問還可用后面的幾何性質(zhì)，借助焦半徑公式余弦定理把P點橫坐標(biāo)先求出來，再去解三角形作答 例5、如圖，已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向 軸作垂線段PP?@，求線段PP?@的中點M的軌跡（若M分 PP?@之比為 ，求點M的軌跡） 解：（1）當(dāng)M是線段PP?@的中點時，設(shè)動點 ，則 的'坐標(biāo)為 因為點 在圓心為坐標(biāo)原點半徑為2的圓上， 所以有 所以點 �。�2）當(dāng)M分 PP?@之比為 時，設(shè)動點 ，則 的坐標(biāo)為 因為點 在圓心為坐標(biāo)原點半徑為2的圓上，所以有 ， 即所以點 例6、設(shè)向量 =（1， 0）， =（x＋m） ＋y =（x－m） ＋y ＋ （I）求動點P（x，y）的軌跡方程； �。↖I）已知點A（－1， 0），設(shè)直線y= （x－2）與點P的軌跡交于B、C兩點，問是否存在實數(shù)m，使得 ？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由． 解：（I）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， =6 上式即為點P（x， y）到點（－m， 0）與到點（m， 0）距離之和為6．記F1（－m， 0），F(xiàn)2（m， 0）（0 ∴ PF1＋PF2=6＞F1F2 又∵x＞0，∴P點的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓的右半部分． ∵ 2a=6，∴a=3 又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2 ∴ 所求軌跡方程為 （x＞0，0＜m＜3） �。� II ）設(shè)B（x1， y1），C（x2， y2）， ∴∴ 而y1y2= （x1－2）? （x2－2） = [x1x2－2（x1＋x2）＋4] ∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4] = [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13] 若存在實數(shù)m，使得 成立 則由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]= 可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ① 再由 消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ② 因為直線與點P的軌跡有兩個交點． 所以 由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此時△＞0 但由⑤，有9m2－77= ＜0與假設(shè)矛盾 ∴ 不存在符合題意的實數(shù)m，使得 例7、已知C1： ，拋物線C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點． �。á瘢┊�(dāng)AB⊥x軸時，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上； �。á颍┤魀= ，且拋物線C2的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程． 解：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標(biāo)為（1， ）或（1，－ ）． ∵點A在拋物線上，∴ 此時C2的焦點坐標(biāo)為（ ，0），該焦點不在直線AB上． �。á颍┊�(dāng)C2的焦點在AB上時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x－1）． 由 （kx－k－m）2= ① 因為C2的焦點F（ ，m）在y=k（x－1）上． 所以k2x2－ （k2＋2）x＋ =0 ② 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2= 由 �。�3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③ 由于x1、x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2= 從而 = k2=6即k=± 又m=－ ∴m= 或m=－ 當(dāng)m= 時，直線AB的方程為y=－ （x－1）； 當(dāng)m=－ 時，直線AB的方程為y= （x－1）． 例8、已知橢圓C： （a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為e．直線l：y=ex＋a與x軸，y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設(shè) = ． �。á瘢┳C明：（Ⅱ）若 ，△MF1F2的周長為6，寫出橢圓C的方程； �。á螅┐_定解：（Ⅰ）因為A、B分別為直線l：y=ex＋a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標(biāo)分別是A（－ ，0），B（0，a）． 由 得 這里∴M = ，a） 即 解得 �。á颍┊�(dāng) 時， ∴a=2c 由△MF1F2的周長為6，得2a＋2c=6 ∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3 故所求橢圓C的方程為 �。á螅逷F1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2，即 PF1=C． 設(shè)點F1到l的距離為d，由 PF1= =得： =e ∴e2= 于是 即當(dāng)（注：也可設(shè)P（x0，y0），解出x0，y0求之） 【模擬】 一、選擇題 1、動點M到定點 和 的距離的和為8，則動點M的軌跡為 （ ） A、橢圓 B、線段 C、無圖形 D、兩條射線 2、設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ） A、 C、2－ －1 3、（2004年高考湖南卷）F1、F2是橢圓C： 的焦點，在C上滿足PF1⊥PF2的點P的個數(shù)為（ ） A、2個 B、4個 C、無數(shù)個 D、不確定 4、橢圓 的左、右焦點為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為 （ ） A、32 B、16 C、8 D、4 5、已知點P在橢圓（x－2）2＋2y2=1上，則 的最小值為（ ） A、 C、 6、我們把離心率等于黃金比 是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點和右頂點，B是它的短軸的一個端點，則 等于（ ） A、 C、 二、填空題 7、橢圓 的頂點坐標(biāo)為 和 ，焦點坐標(biāo)為 ，焦距為 ，長軸長為 ，短軸長為 ，離心率為 ，準(zhǔn)線方程為 ． 8、設(shè)F是橢圓 的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi（i=1，2， ），使得FP1、FP2、FP3…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍是 ． 9、設(shè) ， 是橢圓 的兩個焦點，P是橢圓上一點，且 ，則得 ． 10、若橢圓 =1的準(zhǔn)線平行于x軸則m的取值范圍是 三、解答題 11、根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 �。�1）和橢圓 共準(zhǔn)線，且離心率為 ． �。�2）已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為 和 ，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點． 12、已知 軸上的一定點A（1，0），Q為橢圓 上的動點，求AQ中點M的軌跡方程 13、橢圓 的焦點為 =（3， －1）共線． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)M是橢圓上任意一點，且 = 、 ∈R），證明 為定值． 【試題答案】 1、B 2、D 3、A 4、B 5、D（法一：設(shè) ，則y=kx代入橢圓方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得： ．法二：用橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)的有界性求解） 6、C 7、（ ；（0， ）；6；10；8； ； ． 8、 ∪ 9、 10、m＜ 且m≠0． 11、（1）設(shè)橢圓方程 ． 解得 ， 所求橢圓方程為（2）由 ． 所求橢圓方程為 的坐標(biāo)為 因為點 為橢圓 上的動點 所以有 所以中點 13、解：設(shè)P點橫坐標(biāo)為x0，則 為鈍角．當(dāng)且僅當(dāng) ． 14、（1）解：設(shè)橢圓方程 ，F(xiàn)（c，0），則直線AB的方程為y=x－c，代入 ，化簡得： x1x2= 由 =（x1＋x2，y1＋y2）， 共線，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0， 又y1=x1－c，y2=x2－c ∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2= 即 = ，∴ a2=3b2 ∴ 高中地理 ，故離心率e= ． （2）證明：由（1）知a2=3b2，所以橢圓 可化為x2＋3y2=3b2 設(shè) = （x2，y2），∴ ， ∵M∴ （ ）2＋3（ ）2=3b2 即： ）＋ （由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2． x1x2= = 2 x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c） =4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0 又 =3b2代入①得 為定值，定值為1． 教學(xué)目標(biāo) 1、知識與技能 (1)了解周期現(xiàn)象在現(xiàn)實中廣泛存在;(2)感受周期現(xiàn)象對實際工作的意義;(3)理解周期函數(shù)的概念;(4)能熟練地判斷簡單的實際問題的周期;(5)能利用周期函數(shù)定義進行簡單運用。 2、過程與方法 通過創(chuàng)設(shè)情境：單擺運動、時鐘的圓周運動、潮汐、波浪、四季變化等，讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象;從數(shù)學(xué)的角度分析這種現(xiàn)象，就可以得到周期函數(shù)的定義;根據(jù)周期性的定義，再在實踐中加以應(yīng)用。 3、情感態(tài)度與價值觀 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對周期現(xiàn)象有一個初步的認識，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會運用聯(lián)系的觀點認識事物。 教學(xué)重難點 重點:感受周期現(xiàn)象的存在，會判斷是否為周期現(xiàn)象。 難點:周期函數(shù)概念的理解，以及簡單的應(yīng)用。 教學(xué)工具 投影儀 教學(xué)過程 創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題 同學(xué)們：我們生活在海南島非常幸福，可以經(jīng)�？吹酱蠛�，陶冶我們的情操。眾所周知，海水會發(fā)生潮汐現(xiàn)象，大約在每一晝夜的時間里，潮水會漲落兩次，這種現(xiàn)象就是我們今天要學(xué)到的`周期現(xiàn)象。再比如，[取出一個鐘表,實際操作]我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會重復(fù)，這也是一種周期現(xiàn)象。所以，我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù)。(板書課題) 探究新知 1.我們已經(jīng)知道，潮汐、鐘表都是一種周期現(xiàn)象，請同學(xué)們觀察錢塘江潮的圖片(投影圖片)，注意波浪是怎樣變化的?可見，波浪每隔一段時間會重復(fù)出現(xiàn)，這也是一種周期現(xiàn)象。請你舉出生活中存在周期現(xiàn)象的例子。(單擺運動、四季變化等) (板書：一、我們生活中的周期現(xiàn)象) 2.那么我們怎樣從數(shù)學(xué)的角度研究周期現(xiàn)象呢?教師引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)課本P3——P4的相關(guān)內(nèi)容，并思考回答下列問題： �、偃绾卫斫狻吧Ⅻc圖”? �、趫D1-1中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示什么? ③如何理解圖1-1中的“H/m”和“t/h”? �、軐τ谥芷诤瘮�(shù)的定義，你的理解是怎樣? 以上問題都由學(xué)生來回答，教師加以點撥并總結(jié)：周期函數(shù)定義的理解要掌握三個條件，即存在不為0的常數(shù)T;x必須是定義域內(nèi)的任意值;f(x+T)=f(x)。 (板書：二、周期函數(shù)的概念) 3.[展示投影]練習(xí): (1)已知函數(shù)f(x)滿足對定義域內(nèi)的任意x，均存在非零常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)。 求f(x+2T)，f(x+3T) 略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x) f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x) 本題小結(jié)，由學(xué)生完成，總結(jié)出“周期函數(shù)的周期有無數(shù)個”，教師指出一般情況下，為避免引起混淆，特指最小正周期。 (2)已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函數(shù)，且f(1)=20xx,求f(11) 略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=20xx (3)已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù)，且f(1)=2，f(x+3)=f(x)，求f(8) 略解：f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2 鞏固深化，發(fā)展思維 1.請同學(xué)們先自主學(xué)習(xí)課本P4倒數(shù)第五行——P5倒數(shù)第四行，然后各個學(xué)習(xí)小組之間展開合作交流。 2.例題講評 例1.地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)，地球到太陽的距離y是時間t的函數(shù)嗎?如果是，這個函數(shù) y=f(t)是不是周期函數(shù)? 例2.圖1-4(見課本)是鐘擺的示意圖，擺心A到鉛垂線MN的距離y是時間t的函數(shù)，y=g(t)。根據(jù)鐘擺的知識，容易說明g(t+T)=g(t),其中T為鐘擺擺動一周(往返一次)所需的時間，函數(shù)y=g(t)是周期函數(shù)。若以鐘擺偏離鉛垂線MN的角θ的度數(shù)為變量，根據(jù)物理知識，擺心A到鉛垂線MN的距離y也是θ的周期函數(shù)。 例3.圖1-5(見課本)是水車的示意圖，水車上A點到水面的距離y是時間t的函數(shù)。假設(shè)水車5min轉(zhuǎn)一圈，那么y的值每經(jīng)過5min就會重復(fù)出現(xiàn)，因此，該函數(shù)是周期函數(shù)。 3.小組課堂作業(yè) (1)課本P6的思考與交流 (2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾? 五、歸納整理，整體認識 (1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些?所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想方法有那些? (2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。 (3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣?你的體會是什么? 六、布置作業(yè) 1.作業(yè)：習(xí)題1.1第1,2,3題. 2.多觀察一些日常生活中的周期現(xiàn)象的例子，進一步理解它的特點. 課后小結(jié) 歸納整理，整體認識 (1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些?所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想方法有那些? (2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。 (3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣?你的體會是什么? 課后習(xí)題 作業(yè) 1.作業(yè)：習(xí)題1.1第1,2,3題. 2.多觀察一些日常生活中的周期現(xiàn)象的例子，進一步理解它的特點. 板書 【三角函數(shù)教案】相關(guān)文章： 數(shù)學(xué)三角函數(shù)教案與習(xí)題06-20 高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)復(fù)習(xí)教案01-15 三角函數(shù)說課稿08-12 三角函數(shù)解題方法總結(jié)05-16 反三角函數(shù)公式總結(jié)11-03 《任意角三角函數(shù)定義》說課稿07-06 高中三角函數(shù)公式總結(jié)08-08三角函數(shù)教案13
三角函數(shù)教案14
三角函數(shù)教案15