正多邊形的有關計算的教案設計

　　教學目標 ：

　　(1)會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題;

　　(2)鞏固學生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學生正確迅速的運算能力;

　　(3)通過正多邊形有關計算公式的推導，激發(fā)學生探索和創(chuàng)新.

　　教學重點:

　　把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

　　教學難點 :

　　正確地將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.

　　教學活動設計:

　　(一)創(chuàng)設情境、觀察、分析、歸納結論

　　1、情境一：給出圖形.

　　問題1：正n邊形內(nèi)角的規(guī)律.

　　觀察：在圖形中，應用以有的知識(多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的每個內(nèi)角都相等)得出新結論.

　　教師組織學生自主觀察，學生回答.(正n邊形的每個內(nèi)角都等于 .)

　　2、情境二：給出圖形.

　　問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形?它們有什么規(guī)律?

　　教師引導學生觀察，學生回答.

　　觀察：三角形的形狀，三角形的個數(shù).

　　歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.

　　3、情境三：給出圖形.

　　問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律?

　　觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的.

　　(二)定理、理解、應用：

　　1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形.

　　2、理解：定理的實質(zhì)是把正多邊形的問題向直角三角形轉(zhuǎn)化.

　　由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據(jù)上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題.

　　3、應用：

　　例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6.

　　教師引導學生分析解題思路：

　　n=6 =30，又半徑為R a6 、r6. P6、S6.

　　學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力.

　　解：作半徑OA、OB;作OGAB，垂足為G，得Rt△OGB.

　　∵GOB=，

　　a6 =2Rsin30=R，

　　P6=6a6=6R，

　　∵r6=Rcos30=，

　　.

　　歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=Pn rn.

　　4、研究：(應用例1的方法進一步研究)

　　問題：已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積.

　　學生以小組進行研究，并初步歸納：

　　; ; ; ;

　　; .

　　上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.

　　通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數(shù);(2)圓的半徑和邊心距;(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.

　　(三)小節(jié)

　　知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的.計算問題.

　　思想：轉(zhuǎn)化思想.

　　能力：解直角三角形的能力、計算能力;觀察、分析、研究、歸納能力.

　　(四)作業(yè)

　　歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式.

　　教學設計示例2

　　教學目標 ：

　　(1)進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題;

　　(2)通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數(shù)學方法;

　　(3)通過解決實際問題，培養(yǎng)學生簡單的數(shù)學建模能力;

　　(4)培養(yǎng)學生用數(shù)學意識，滲透理論聯(lián)系實際、實踐論的觀點.

　　教學重點:

　　應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數(shù)計算的證明方法.

　　教學難點 :

　　例3的證明方法.

　　教學活動設計：

　　(一)知識回顧

　　(1)方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.

　　(2)知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，.

　　組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格.

　　(二)正多邊形的應用

　　方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產(chǎn)和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義.

　　例2、在一種聯(lián)合收割機上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).

　　解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OFAB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，AOF=.

　　∵AF=(cm)，R5=(cm).

　　r5=(cm).

　　答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm

　　建議：①組織學生，使學生主動參與教學;②滲透簡單的數(shù)學建模思想和實際應用意識;③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養(yǎng).

　　以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內(nèi)交流.

　　例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 .

　　教師引導學生：

　　(1)AOB=?

　　(2)在△OAB中，A與B的度數(shù)?

　　(3)如果BM平分OBA交OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線段有哪些?你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關系?

　　(4)已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎?怎么計算?

　　解：如圖，設AB=a10.作OBA的平分線BM，交OA于點M，則

　　AOB=2=36，OAB=3=72.

　　OM=MB=AB=a10.

　　△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:(R- a10)，整理，得

　　， (取正根).

　　由例3的結論可得 .

　　回顧：黃金分割線段.AD2=DCAC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項.頂角36角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.

　　反思：解決方法.在推導a10與R關系時，輔助線角平分線是怎么想出來的.解決方法是復習等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關知識.

　　練習P.165中練習1

　　(三)總結

　　(1)應用解決實際問題;

　　(2)綜合代數(shù)列方程的方法證明了 .

　　(四)作業(yè)

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活動

　　已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角 、 、 的大小.

　　探究它們存在什么規(guī)律?你能證明嗎?

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