高中數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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　　高中數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)

　　一、直線與方程

　　(1)直線的傾斜角

　　定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°

　　(2)直線的斜率

　�、俣�義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即 .斜率反映直線與軸的傾斜程度.

　　當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí), 不存在.

　�、谶^兩點(diǎn)的直線的斜率公式:

　　注意下面四點(diǎn):(1)當(dāng) 時(shí),公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;

　　(2)k與P1、P2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;

　　(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到.

　　(3)直線方程

　�、冱c(diǎn)斜式: 直線斜率k,且過點(diǎn)

　　注意:當(dāng)直線的斜率為0°時(shí),k=0,直線的方程是y=y1.

　　當(dāng)直線的斜率為90°時(shí),直線的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1.

　�、谛苯厥�: ,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b

　�、蹆牲c(diǎn)式: ( )直線兩點(diǎn) ,

　�、芙鼐厥�:

　　其中直線 與 軸交于點(diǎn) ,與 軸交于點(diǎn) ,即 與 軸、 軸的截距分別為 .

　�、菀话闶�: (A,B不全為0)

　　注意:各式的適用范圍 特殊的方程如:

　　平行于x軸的直線: (b為常數(shù)); 平行于y軸的直線: (a為常數(shù));

　　(5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線

　　(一)平行直線系

　　平行于已知直線 ( 是不全為0的常數(shù))的直線系: (C為常數(shù))

　　(二)垂直直線系

　　垂直于已知直線 ( 是不全為0的常數(shù))的直線系: (C為常數(shù))

　　(三)過定點(diǎn)的直線系

　　(ⅰ)斜率為k的直線系: ,直線過定點(diǎn) ;

　　(ⅱ)過兩條直線 , 的交點(diǎn)的直線系方程為

　　( 為參數(shù)),其中直線 不在直線系中.

　　(6)兩直線平行與垂直

　　當(dāng) , 時(shí),

　　;

　　注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否.

　　(7)兩條直線的交點(diǎn)

　　相交

　　交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 的一組解.

　　方程組無解 ; 方程組有無數(shù)解 與 重合

　　(8)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè) 是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),

　　則

　　(9)點(diǎn)到直線距離公式:一點(diǎn) 到直線 的距離

　　(10)兩平行直線距離公式

　　在任一直線上任取一點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解.

　　二、圓的方程

　　1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的半徑.

　　2、圓的方程

　　(1)標(biāo)準(zhǔn)方程 ,圓心 ,半徑為r;

　　(2)一般方程

　　當(dāng) 時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為 ,半徑為

　　當(dāng) 時(shí),表示一個(gè)點(diǎn); 當(dāng) 時(shí),方程不表示任何圖形.

　　(3)求圓方程的方法:

　　一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求.確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

　　需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

　　另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn),以此來確定圓心的位置.

　　3、直線與圓的位置關(guān)系:

　　直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況:

　　(1)設(shè)直線 ,圓 ,圓心 到l的距離為 ,則有 ; ;

　　(2)過圓外一點(diǎn)的切線:①k不存在,驗(yàn)證是否成立②k存在,設(shè)點(diǎn)斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】

　　(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

　　4、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定.

　　設(shè)圓 ,

　　兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定.

　　當(dāng) 時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線四條;

　　當(dāng) 時(shí)兩圓外切,連心線過切點(diǎn),有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;

　　當(dāng) 時(shí)兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;

　　當(dāng) 時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點(diǎn),只有一條公切線;

　　當(dāng) 時(shí),兩圓內(nèi)含; 當(dāng) 時(shí),為同心圓.

　　注意:已知圓上兩點(diǎn),圓心必在中垂線上;已知兩圓相切,兩圓心與切點(diǎn)共線

　　圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)

　　三、立體幾何初步

　　1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

　　(1)棱柱:

　　幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.

　　(2)棱錐

　　幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方.

　　(3)棱臺(tái):

　　幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

　　(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成

　　幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形.

　　(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成

　　幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.

　　(6)圓臺(tái):定義:以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成

　　幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形.

　　(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的.幾何體

　　幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑.

　　2、空間幾何體的三視圖

　　定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、

　　俯視圖(從上向下)

　　注:正視圖反映了物體的高度和長(zhǎng)度;俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度.

　　3、空間幾何體的直觀圖--斜二測(cè)畫法

　　斜二測(cè)畫法特點(diǎn):①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;

　�、谠瓉砼cy軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來的一半.

　　4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

　　(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和.

　　(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng),h為高, 為斜高,l為母線)

　　(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

　　(4)球體的表面積和體積公式:V = ; S =

　　4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

　　公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

　　應(yīng)用: 判斷直線是否在平面內(nèi)

　　用符號(hào)語言表示公理1:

　　公理2:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

　　符號(hào):平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a.

　　符號(hào)語言:

　　公理2的作用:

　�、偎�是判定兩個(gè)平面相交的方法.

　�、谒�說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線必過公共點(diǎn).

　�、鬯�可以判斷點(diǎn)在直線上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù).

　　公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

　　推論:一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面.

　　公理3及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù)

　　公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行

　　空間直線與直線之間的位置關(guān)系

　　① 異面直線定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

　�、� 異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交.

　�、� 異面直線判定:過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

　�、� 異面直線所成角:作平行,令兩線相交,所得銳角或直角,即所成角.兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直.

　　求異面直線所成角步驟:

　　A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上. B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角

　　(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ).

　　(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系

　　直線在平面內(nèi)--有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

　　三種位置關(guān)系的符號(hào)表示:a α a∩α=A a‖α

　　(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行--沒有公共點(diǎn);α‖β

　　相交--有一條公共直線.α∩β=b

　　5、空間中的平行問題

　　(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

　　線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行.

　　線線平行 線面平行

　　線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,

　　那么這條直線和交線平行.線面平行 線線平行

　　(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

　　兩個(gè)平面平行的判定定理

　　(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行

　　(線面平行→面面平行),

　　(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行.

　　(線線平行→面面平行),

　　(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,

　　兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

　　(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行.(面面平行→線面平行)

　　(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行.(面面平行→線線平行)

　　7、空間中的垂直問題

　　(1)線線、面面、線面垂直的定義

　　①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直.

　�、诰�面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個(gè)平面垂直.

　　③平面和平面垂直:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個(gè)平面垂直.

　　(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

　�、倬�面垂直判定定理和性質(zhì)定理

　　判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面.

　　性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.

　　②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

　　判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直.

　　性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

　　9、空間角問題

　　(1)直線與直線所成的角

　�、賰善叫兄本�所成的角:規(guī)定為 .

　　②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角.

　�、蹆蓷l異面直線所成的角:過空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線 ,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.

　　(2)直線和平面所成的角

　　①平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為 . ②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為 .

　　③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

　　求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計(jì)算”.

　　在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線,

　　在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息:(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線;(2)過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線.

　　(3)二面角和二面角的平面角

　�、俣�面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

　�、诙�面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.

　�、壑倍�面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.

　　兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過來,如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角

　�、芮蠖�面角的方法

　　定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

　　垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角

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