1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

　　2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.(“線線平行，線面平行”)

　　[注]：①直線 與平面 內(nèi)一條直線平行，則 ∥ . (×)(平面外一條直線)

　�、谥本� 與平面 內(nèi)一條直線相交，則 與平面 相交. (×)(平面上一條直線)

　�、廴糁本� 與平面 平行，則 平面內(nèi)必存在無數(shù)條直線與已知直線平行. (√)(不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之)

　�、軆蓷l平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面. (×)(可能在此平面內(nèi))

　�、萜叫杏谕�一直線的兩個(gè)平面平行.(×)(兩個(gè)平面可能相交)

　�、奁叫杏谕�一個(gè)平面的兩直線平行.(×)(兩直線可能相交或者異面) ⑦直線 與平面 、 所成角相等，則 ∥ .(×)( 、 可能相交)

　　3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.(“線面平行，線線平行”)

　　4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.

　　 若 ⊥ ， ⊥ ，得 ⊥ (三垂線定理)，

　　得不出 ⊥ . 因?yàn)?⊥ ，但 不垂直O(jiān)A.

　　 三垂線定理的逆定理亦成立.

　　直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.(“線線垂直，線面垂直”)

　　直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

　　推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

　　[注]：①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行)

　�、诖怪庇谕�一直線的兩個(gè)平面平行.(√)(一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面)

　�、鄞怪庇谕�一平面的兩條直線平行.(√)

　　5. ⑴垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng);②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng);③垂線段比任何一條斜線段短.

　　[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn). [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.(×)]

　�、粕溆岸ɡ硗普摚喝绻�一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上

　　四、 平面平行與平面垂直.

　　1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.

　　2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.(“線面平行，面面平行”)

　　推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行;平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.

　　[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.

　　3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.(“面面平行，線線平行”)

　　4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.

　　兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.(“線面垂直，面面垂直”)

　　注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.

　　5. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.

　　推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.

　　證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于 ，

　　因?yàn)?則 .

　　6. 兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式： ( 為銳角取加， 為鈍取減，綜上，都取加則必有 )

　　7. ⑴最小角定理： ( 為最小角，如圖)

　　⑵最小角定理的應(yīng)用(∠PBN為最小角)

　　簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.

　　成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.

　　成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條. 成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有. 五、 棱錐、棱柱.

　　1. 棱柱.

　　⑴①直棱柱側(cè)面積： ( 為底面周長(zhǎng)， 是高)該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.

　　②斜棱住側(cè)面積： ( 是斜棱柱直截面周長(zhǎng)， 是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng))該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.

　　⑵{四棱柱} {平行六面體} {直平行六面體} {長(zhǎng)方體} {正四棱柱} {正方體}.

　　{直四棱柱} {平行六面體}={直平行六面體}.

　�、抢庵�具有的性質(zhì)：

　�、倮庵�的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等;直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形;正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.

　�、诶庵�的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.

　　③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.

　　注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱. (×) (直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖)

　�、�(直棱柱定義)棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.

　　⑷平行六面體：

　　定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.

　　[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).

　　定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.

　　推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為 ，則 . 推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為 ，則 .

　　[注]：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形)

　�、诟鱾�(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行)

　　③對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.(×)(只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形)

　�、芾庵�成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. (兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件)

　　2. 棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.

　　[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.

　�、谝粋�(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐;所以 .

　�、泞僬�棱錐定義：底面是正多邊形;頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.

　　[注]：i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)

　　ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等

　　iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角

　　形(即側(cè)棱相等);底面為正多邊形.

　�、谡�棱錐的側(cè)面積： (底面周長(zhǎng)為 ，斜高為 )

　�、劾忮F的側(cè)面積與底面積的射影公式： (側(cè)面與底面成的二面角為 ) 附： 以知 ⊥ ， ， 為二面角 .

　　則 ①， ②， ③ ①②③得 .

　　注：S為任意多邊形的面積(可分別多個(gè)三角形的方法). ⑵棱錐具有的性質(zhì)：

　　①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).

　�、谡�棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形. ⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：

　�、倮忮F的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.

　�、诶忮F的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.

　　③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

　　④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

　�、萑�棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.

　�、奕�棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂

　　心.

　�、呙總�(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑;

　�、嗝總�(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心 是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.

　　[注]：i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(×)(各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等)

　　ii. 若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直. 簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令

　　得 ，已知

　　則 .

　　iii. 空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.

　　iv. 若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.

　　簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn) ，則 平面 90°易知EFGH為平行四邊形 EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則 為正方形.

　　3. 球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.

　�、偾虻谋砻娣e公式： .

　　②球的體積公式： .

　�、凭暥取⒔�(jīng)度：

　�、倬暥龋旱厍蛏弦稽c(diǎn) 的緯度是指經(jīng)過 點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角

　　的度數(shù).

　�、诮�(jīng)度：地球上 兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn) 的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是 點(diǎn)的經(jīng)度.

　　附：①圓柱體積： ( 為半徑， 為高)

　　②圓錐體積： ( 為半徑， 為高)

　　③錐形體積： ( 為底面積， 為高)

　　4. ①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a， ， ， 得 .

　　注：球內(nèi)切于四面體：

　�、谕饨忧颍呵蛲饨佑谡�四面體，可如圖建立關(guān)系式.

　　六. 空間向量.

　　1. (1)共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.

　　注：①若 與 共線， 與 共線，則 與 共線.(×) [當(dāng) 時(shí)，不成立]

　�、谙蛄� 共面即它們所在直線共面.(×) [可能異面]

　�、廴� ∥ ，則存在小任一實(shí)數(shù) ，使 .(×)[與 不成立] ④若 為非零向量，則 .(√)[這里用到 之積仍為向量]

　　(2)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量 ， ∥ 的充要條件是存在實(shí)數(shù) (具有唯一性)，使 .

　　(3)共面向量：若向量 使之平行于平面 或 在 內(nèi)，則 與 的關(guān)系

　　是平行，記作 ∥ .

　　(4)①共面向量定理：如果兩個(gè)向量 不共線，則向量 與向量 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使 .

　�、诳臻g任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則 是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.(簡(jiǎn)證： P、A、B、C四點(diǎn)共面)

　　注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.

　　2. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量 不共面，那么對(duì)空間任一向量 ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使 .

　　推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).

　　注：設(shè)四面體ABCD的三條棱， 其

　　中Q是△BCD的重心，則向量 用 即證.

　　3. (1)空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸(對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo))，y軸是縱軸(對(duì)應(yīng)為縱軸)，z軸是豎軸(對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)). ①令 =(a1,a2,a3), ，則

　　∥

　　(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化： )

　�、诳臻g兩點(diǎn)的距離公式： .

　　(2)法向量：若向量 所在直線垂直于平面 ，則稱這個(gè)向量垂直于平面 ，記作 ，如果 那么向量 叫做平面 的法向量.

　　(3)用向量的常用方法：

　�、倮�用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面 的法向量，

　　AB是平面 的一條射線，其中 ，則點(diǎn)B到平面 的距離為 .

　�、诶�用法向量求二面角的平面角定理：設(shè) 分別是二面角 中平面 的法向量，則 所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小( 方向相同，則為補(bǔ)角， 反方，則為其夾角).

　�、圩C直線和平面平行定理：已知直線 平面 ， ，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥ 的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì) 使 .(常設(shè) 求解 若 存在即證畢，若 不存在，則直線AB與平面相交).