2.十進制與二進制的互相轉(zhuǎn)化
今天，當我們寫上一個數(shù)目 1997 時，實際上意味著我們使用了“十進制”數(shù)，即
1997=1×1000+9×100＋9×10+7×1
也就是說：1997 中含有一個 1000，九個 100，九個 10 與七個 1。
在表 1 中可以看到：二進制數(shù) 10 表示十進制數(shù) 2；二進制數(shù) 100，表示十進制數(shù)
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4；二進制數(shù) 1000，表示十進制數(shù) 8；二進制數(shù) 10000 表示十進制數(shù) 16；…；可
以看出規(guī)律：二進制數(shù) 100000 應該表示十進制數(shù) 32，…。那么我們寫下一個二進制
數(shù) 10110，則應表示它含有一個 16，一個 4 與一個 2，也就是
10110=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1
明白了上面所說的兩點，則二進制與十進制之間的轉(zhuǎn)化的道理就容易懂了。為了
敘述的方便，我們約定：用（ ）2表示括號內(nèi)寫的數(shù)是二進制數(shù)，如（1011）2；用（ ）
10 表示括號中寫的數(shù)是十進制數(shù)，如（37）10。
例 1 把（10110）2改寫成十進制數(shù)。
解 （10110）2=1×16+0×8＋1×4+1×2+0×1
=16＋4+2
=（22）10
例 2 把（1110101）2改寫成十進制數(shù)。
分析：因為位數(shù)太多，我們先從低位寫起。
解 （1110101）2=1×1+0×2+1×4+0×8+1×16+1×32+1×64
=1+4+16+32＋64
＝（117）10
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從上面兩道例題可以看到：將一個二進制數(shù)寫成十進制數(shù)的第一步驟是：將二進
制數(shù)的各數(shù)位上數(shù)字改寫成相應的十進制數(shù)。因為是“滿二進一”，所以高位是相鄰
低一位數(shù)的 2 倍。一個二進制數(shù)的各個數(shù)位（由低位到高位）對應十進制數(shù)的規(guī)律是：
1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…
第二個步驟是將各數(shù)位上對應的十進制數(shù)求和，所得結(jié)果便是相應的十進制數(shù)。
再看一題。
例 3 將（110100111）2改寫成十進制數(shù)。
分析：還是由低位寫起。
解 （110100111）2=1×1+1×2+1×4＋0×8+0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256
=1+2＋4+32+128+256
＝（423）10
下面我們介紹如何將一個十進制數(shù)改寫成相應的二進制數(shù)。
例 4 把（60）10改寫成二進制數(shù)。
解 （60）10=32＋28
=32+16+12
=32＋16＋8＋4
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=32+16+8＋4+0×2＋0×1
=（111100）2
說明：從解題過程中立即便能看出，將十進制數(shù)寫成二進制數(shù)的過程，正好與將
二進制數(shù)改寫成十進制數(shù)的過程相反：先由高位開始考慮，將十進制數(shù)盡可能地湊出
相應二進制數(shù)的最高位，然后逐步往下進行。
例 5 把（45）10改寫成二進制數(shù)。
分析：（45）10不足 64，所以它對應的二進制數(shù)的最高位是 32，即 45=32＋13，
剩下的 13 不足 16，則向下一位考慮。45=32＋0×16＋（8＋5），剩下的 5 中包含一
個 4，即 45=32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位數(shù)是 1，又不足 2，所以對應的二進位數(shù)
又空一位。
解 （45）10=32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1
=（101101）2
練一練：
（1）將（31）10改寫成二進制數(shù)；
（2）將（78）10改寫成二進制數(shù)。
下面我們再介紹一種將十進制數(shù)寫成二進制數(shù)的常用方法--除二倒取余法。例
如要將（71）10寫成二進制數(shù)，參見下式。我們將 71 除以 2，余數(shù) 1 相應寫在右邊（如
果除盡，余數(shù)則寫 0）；再將商 35 除以 2，余數(shù) 1 相應寫在右邊；再將這步的商 17
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除以 2，重復上述過程，直到商等于 1 為止。并且最后一步的商“1”也寫到右邊余數(shù)
那一列的最下面。最后將這列余數(shù)由下到上寫成一行數(shù)，這行數(shù)便是（71）10的二進
制數(shù)表示法。即
（71）10=（1000111）2
例 6 用除二倒取余法將（38）10寫成二進制數(shù)。
解 ∵
∴（38）10＝（100110）2
例 7 用兩種方法將（107）10改寫成二進制數(shù)。
解 方法一
（107）10=64+43
=64＋32+11
=64＋32＋0×16+8+3
=64＋32+0×16＋8＋0×4+2+1
70
＝（1101011）2
方法二 ∵
∴（107）10=（1101011）2
練習九
1.把下面的二進制數(shù)改寫成十進制數(shù)。
①（10001）2； ②（11000）2；
③（101110）2； ④（111101）2；
⑤（1101001）2； ⑥（11011010）2。
2.把下面的十進制數(shù)改寫成二進制數(shù)。
①（19）10； ②（26）10； ③（54）10；
④（81）10； ⑤（123）10； ⑥（180）10。
3.現(xiàn)有 1 克、2 克、4 克、8 克的砝碼各一枚，在天平上能稱出多少種不同重量的
物體？想一想這是為什么？與二進制有關(guān)嗎？
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十、二進制數(shù)的四則運算
同學們一定記得，剛上一年級學習加法運算時有加法口訣到了學習乘法的時候，
又有“九九乘法口訣表”。背誦“九九表”對每個小同學來說都是一件十分辛苦而費
時的事，所以當時大家都希望“九九表”能夠簡單一些吧？由于我們使用的是十進制，
所以它的四則運算法則不可能太簡單。現(xiàn)在我們學習了二進制數(shù)，而二進制數(shù)中只有
兩個獨立的符號“0”與“1”，所以二進制數(shù)的四則運算法則就簡便多了！
加法法則：
0＋0=0；0＋1=1；
1＋0=1；1+1=10。
乘法法則：
0×0=0；0×1=0；
1×0=0；1×1=1。
上面列出的八條二進制運算法則可以歸納成八個字：“格式照舊，滿二進一。”
利用這一規(guī)則，可以很容易地實現(xiàn)二進制數(shù)的四則運算。只是對于減法，當需要向上
一位借數(shù)時，必須把上一位的 1 看成下一位的（2）10。
下面是一些例子，右邊列的是十進制下的對照：
加法運算：
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（100）2+（110）2＝（1010）2
1＋1=10，本位記 0，并向高位進 1（即“滿二進一”）
4＋6=10
減法運算：
（1100）2-（1001）2=（11）2
被減數(shù)不夠減，向高位借 1 當 2，2-1 得 1。
12-9=3