證明一

　　1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

　　例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點(diǎn)。EC、FB交于G。

　　求證：EG=1/2CG

　　證明：過E作EH∥BF交AC于H。

　　∵AE=BE，EH//BF

　　∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

　　又∵ AF=CF

　　∴HF=1/2CF

　　∴HF:CF=1/2

　　∵EH∥BF

　　∴EG:CG=HF:CF=1/2

　　∴EG=1/2CG

　　方法二 連接EF

　　利用三角形相似

　　求證：EG=1/2CG 即證明EF=1/2BC

　　利用中位線可證明EF=1/2BC利用中位線可證明EF=1/2BC

　　2、重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。

　　證明方法：

　　在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點(diǎn)O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據(jù)重心性質(zhì)知：

　　OA'=1/3AA'

　　OB'=1/3BB'

　　OC'=1/3CC'

　　過O，A分別作a邊上高OH'，AH

　　可知OH'=1/3AH

　　則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

　　同理可證S△AOC=1/3S△ABC

　　S△AOB=1/3S△ABC

　　所以，S△BOC=S△AOC=S△