圓錐曲線方程教學(xué)的改進

　　人教版《全日制普通高級中學(xué)教科書·數(shù)學(xué)》第二冊（上）在第八章介紹了“圓錐曲線方程”。在對“雙曲線”教學(xué)的處理上，筆者有三處改進意見。

　　一、一個教學(xué)實驗

　　對教材第106頁例2的教學(xué)，筆者在所任教的兩個班做了這樣一個實驗：在甲班按教材上的解法向?qū)W生講解，不到10分時間完成該題的講解；在乙班提前兩天布置了這樣一道作業(yè)題：

　　解方程組

　　學(xué)生對此方程組的解法有下列6種：

　　解法1：

　　由①×＋②，得a2＝16。

　　把a2＝16代入①，得b2＝9（下略）。

　　解法2：

　　由①－②，得－＝0，

　　即a2＝。

　　把a2＝代入①，得b2＝9，把b2＝9代入a2＝，得a2＝16（下略）。

　　解法3：

　　由①，得32b2－9a2＝a2b2。③

　　由②，得400b2－81a2＝16a2b2。④

　　由③×16－④，得16b2－9a2＝0，即a2＝（下略）。

　　解法4：

　　由①，得＝。

　　把＝代入②，得－＝1，即a2＝16（下略）。

　　解法5：令m＝a2，n＝b2，

　　則原方程組化為

　�。ㄏ侣裕�。

　　解法6：令x＝，y＝，則原方程組化為

　　解這個方程組，得

　　即a2＝16，b2＝9（下略）。

　　當(dāng)講到教材第106頁例2時，與學(xué)生一起列出方程組

　　學(xué)生看到這個方程組后，聯(lián)想到兩天前所做的作業(yè)，他們議論紛紛，有的學(xué)生的解法與教材一致，有的學(xué)生的解法與教材不一致。筆者用投影儀顯示作業(yè)中6種不同的解法，學(xué)生認(rèn)真分析6種不同的解法。──通過一個簡單的問題調(diào)動了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。筆者沒有就此罷休，及時提出對例題解法有沒有值得改進的地方，教室一下子就安靜下來了，大家都在積極思考著這個問題。過了一會兒，有的學(xué)生就抬起頭看著老師，這說明他們已經(jīng)找到了答案。學(xué)生受教材中方程組的啟發(fā)，認(rèn)為此題可以直接設(shè)所求雙曲線方程為my2－nx2＝1（m＞0，n＞0），這樣設(shè)計計算量較小。其實當(dāng)橢圓或雙曲線中心在原點且對稱軸為坐標(biāo)軸時，設(shè)為Ａx2＋by2＝1的形式計算量更小。在乙班完成這一例題的講解用的時間是甲班的2倍，而乙班課堂氣氛和學(xué)習(xí)效果是甲班所不能比的。

　　在甲班的教學(xué)基本上照本宣科，僅用了待定系數(shù)法和換元法；而在乙班，除了用待定系數(shù)法和換元法，還用了整體代換思想、加減消元法、消常數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法，更可貴的是，學(xué)生受教材解題過程的啟示，認(rèn)為直接設(shè)my2－nx2＝1（m＞0，n＞0）可使計算量減小。

　　通過這一實驗，可以得到一些有益的啟示：1．可不時將后學(xué)內(nèi)容置前。將學(xué)生還沒有學(xué)到但可以解決的局部問題置前，讓他們自己解決，這樣做可以充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，避免教材和教師的局限性，還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，學(xué)生對某些問題的解決，往往可以超出教師的想象。2．要充分重視教材中例題的教學(xué)。當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)有一種不良傾向，認(rèn)為教材中的例習(xí)題太容易，而高考題目太難，于是在上新課時，對教材例題講解不夠重視，而是草草了事，然后補充大量較難例題占用課堂時間。其實這樣做不可取，教材例題是教材編者精心挑選的，是數(shù)學(xué)題目的精品，如果不好好利用它們，實在是巨大浪費。對教材例題不深入鉆研就不知道它的價值。3．學(xué)生自己能夠解決的問題要堅決讓學(xué)生自己解決。由于學(xué)生解決問題的途徑多而且有些十分巧妙，如果教師代替學(xué)生來解決問題，往往會淹沒學(xué)生很多好的解法。一定要相信學(xué)生是聰明的。

　　二、雙曲線漸近方程的證明改進

　　對于雙曲線漸近方程的證明，教材采用的是間接法，也可以直接證明。

　　先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分，這一部分的方程可寫為

　　y＝（x＞a）。

　　設(shè)Ｍ（m＞a）是它上面的點，由點到直線距離公式，可得Ｍ到直線y＝x的距離

　　d＝

　�。�。

　　當(dāng)x逐漸增大時，m逐漸增大，m＋逐漸增大，當(dāng)m無限增大，m＋無限增大，d接近于0，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ＯＮ的下方逐漸接近于射線ＯＮ。

　　在其他象限內(nèi)，也可以證明類似的情況。我們把兩條直線y＝±x叫做雙曲線的漸近線。

　　三、一個例題教學(xué)設(shè)計的改進

　　例雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（圖1），它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)，求出此雙曲線的方程（精確到1m）（教材第111頁例2）。

　　解：如圖2建立直角坐標(biāo)系xＯy，使小圓的直徑ＡＡ′在x軸上，圓心與原點重合。這時，上、下口的直徑ＣＣ′、ＢＢ′平行于x軸，且｜ＣＣ′｜＝13×2，｜ＢＢ′｜＝25×2。

　　設(shè)雙曲線的方程為－＝1（a＞0，b＞0），令點Ｃ的坐標(biāo)為（13，y1），點Ｂ的坐標(biāo)為（25，y2），因為點Ｂ、Ｃ在雙曲線上，所以－＝1，－＝1。

　　又y1＞0，y2＜0，所以y1＝b，y2＝b。

　　而y1－y2＝55，所以b＝55，

　　即b＝≈25。

　　從而所求雙曲線方程為－＝1。

　　上述解法與教材的區(qū)別是：設(shè)Ｂ點和Ｃ點方式不一樣，教材中解方程時計算量相當(dāng)大，而上面的解法只需用計算器算出即可。

　　在解析幾何中，解題計算量是一個難點，合理設(shè)所求曲線方程或點的坐標(biāo)，可以減少計算量。

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