高三數(shù)學第一輪復習階段性測試題含答案及解釋
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分�？荚嚂r間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)
1.(2011?寧夏銀川一中檢測)y=(sinx+cosx)2-1是()
A.最小正周期為2π的偶函數(shù)B.最小正周期為2π的奇函數(shù)
C.最小正周期為π的偶函數(shù)D.最小正周期為π的奇函數(shù)
[答案] D
[解析] y=(sinx+cosx)2-1=2sinxcosx=sin2x，所以函數(shù)y=(sinx+cosx)2-1是最小正周期為π的奇函數(shù).
2.(2011?寧夏銀川月考、山東聊城一中期末)把函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω0，|φ|π)的圖象向左平移π6個單位，再將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)所得的圖象解析式為y=sinx，則()
A.ω=2，φ=π6B.ω=2，φ=-π3
C.ω=12，φ=π6 D.ω=12，φ=π12
[答案] B
[分析] 函數(shù)y=sin(ωx+φ)經過上述變換得到函數(shù)y=sinx，把函數(shù)y=sinx的圖象經過上述變換的逆變換即可得到函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象.
[解析] 把y=sinx圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的12倍得到的函數(shù)解析式是y=sin2x，再把這個函數(shù)圖象向右平移π6個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式是y=sin2x-π6=sin2x-π3，與已知函數(shù)比較得ω=2，φ=-π3.
[點評] 本題考查三角函數(shù)圖象的變換，試題設計成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解決問題的靈活性，本題也可以根據(jù)比較系數(shù)的方法求解，根據(jù)已知的變換方法，經過兩次變換后函數(shù)y=sin(ωx+φ)被變換成y=sinωx2+ωπ6+φ比較系數(shù)也可以得到問題的答案.
3.(2011?遼寧沈陽二中階段檢測)若函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω0)的最小正周期為1，則它的圖像的一個對稱中心為()
A.-π8，0 B.π8，0
C.(0,0) D.-π4，0
[答案] A
[分析] 把函數(shù)化為一個角的一種三角函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出ω的值，根據(jù)對稱中心是函數(shù)圖象與x軸的交點進行檢驗或直接令f(x)=0求解.
[解析] f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+π4，這個函數(shù)的最小正周期是2πω，令2πω=1，解得ω=2，故函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx=2sin2x+π4，把選項代入檢驗知點-π8，0為其一個對稱中心.
[點評] 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱中心，就是函數(shù)圖象與x軸的交點.
4.(2011?江西南昌市調研)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+m(A0，ω0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為π2，直線x=π3是其圖象的一條對稱軸，則符合條件的函數(shù)解析式是()
A.y=4sin4x+π6 B.y=2sin2x+π3+2
C.y=2sin4x+π3+2 D.y=2sin4x+π6+2
[答案] D
[解析] 由最大值為4，最小值為0得
A+m=4-A+m=0，∴A=2m=2，
又因為正周期為π2，∴2πω=π2，∴ω=4，∴函數(shù)為y=2sin(4x+φ)+2，∵直線x=π3為其對稱軸，∴4×π3+φ=π2+kπ，k∈Z，∴φ=kπ-5π6，取k=1知φ=π6，故選D.
5.(文)(2011?北京朝陽區(qū)期末)要得到函數(shù)y=sin2x-π4的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象()
A.向左平移π4個單位B.向右平移π4個單位
C.向右平移π8個單位D.向左平移π8個單位
[答案] C
[解析] y=sin2x-π4=sin2x-π8，故只要將y=sin2x的圖象向右平移π8個單位即可.因此選C.
(理)(2011?東北育才期末)已知a=(cosx，sinx)，b=(sinx，cosx)，記f(x)=a?b，要得到函數(shù)y=cos2x-sin2x的圖像，只需將函數(shù)y=f(x)的圖像()
A.向左平移π2個單位長度B.向右平移π2個單位長度
C.向左平移π4個單位長度D.向右平移π4個單位長度
[答案] C
[解析] f(x)=a?b=cosxsinx+sinxcosx=sin2x，y=cos2x-sin2x=cos2x=sinπ2+2x=sin2x+π4，可將f(x)的圖象向左平移π4個單位長度得到，故選C.
6.(文)(2011?北京西城區(qū)期末)已知△ABC中，a=1，b=2，B=45°，則角A等于()
A.150° B.90°
C.60° D.30°
[答案] D
[解析] 根據(jù)正弦定理得1sinA=2sin45°，∴sinA=12，
∵a(理)(2011?福州期末)黑板上有一道解答正確的解三角形的習題，一位同學不小心把其中一部分擦去了，現(xiàn)在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=2，……，解得b=6.根據(jù)以上信息，你認為下面哪個選項可以作為這個習題的其余已知條件()
A.A=30°，B=45° B.c=1，cosC=13
C.B=60°，c=3 D.C=75°，A=45°
[答案] D
[分析] 可將選項的條件逐個代入驗證.
[解析] ∵2sin30°≠6sin45°，∴A錯;
∵cosC=a2+b2-c22ab=4+6-146≠13，∴B錯;
∵a2+c2-b22ac=4+9-612=712≠cos60°，
∴C錯，故選D.
7.(文)(2011?黃岡市期末)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的一部分圖象如圖所示，如圖A0，ω0，|φ|π2，則()
A.φ=-π6 B.φ=-π3
C.φ=π3 D.φ=π6
[答案] D
[解析] 由圖可知A+b=4-A+b=0，∴A=2b=2，
又T4=5π12-π6=π4，∴T=π，∴ω=2，
∴y=2sin(2x+φ)+2，將5π12，2代入得sin5π6+φ=0，結合選項知選D.
(理)(2011?蚌埠二中質檢)函數(shù)y=cos(ωx+φ)(ωφπ)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如右圖所表示，A、B分別為最高與最低點，并且兩點間的距離為22，則該函數(shù)的一條對稱軸為()
A.x=2π B.x=π2
C.x=1 D.x=2
[答案] C
[解析] ∵函數(shù)y=cos(ωx+φ)為奇函數(shù)，0π，∴φ=π2，∴函數(shù)為y=-sinωx，又ω0，相鄰的最高點與最低點A、B之間距離為22，∴ω=π2，∴y=-sinπ2x，其對稱軸方程為π2x=kπ+π2，即x=2k+1(k∈Z)，令k=0得x=1，故選C.
8.(文)(2011?安徽百校聯(lián)考)已知cos3π2-φ=32，且|φ|π2，則tanφ等于()
A.-33 B.33
C.3 D.-3
[答案] D
[解析] 由cos3π2-φ=32得，sinφ=-32，
又|φ|π2，∴cosφ=12，∴tanφ=-3.
(理)(2011?山東日照調研)已知cosα=-45且α∈π2，π，則tanα+π4等于()
A.-17 B.-7
C.17 D.7
[答案] C
[解析] ∵cosα=-45，π2≤α≤π，
∴sinα=35，∴tanα=-34，
∴tanα+π4=tanα+tanπ41-tanα?tanπ4=-34+11--34×1=17，故選C.
9.(2011?巢湖質檢)如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象的一部分，A，B是圖象上的一個最高點和一個最低點，O為坐標原點，則OA→?OB→的值為()
A.12π B.19π2+1
C.19π2-1 D.13π2-1
[答案] C
[解析] 由圖知T4=5π12-π6=π4，∴T=π，
∴ω=2，∴y=sin(2x+φ)，
將點-π12，0的坐標代入得sin-π6+φ=0，
∴φ=π6，
∴Aπ6，1，B2π3，-1，∴OA→?OB→=π29-1，故選C.
10.(2011?濰坊一中期末)已知函數(shù)f(x)=2sinωx(ω0)在區(qū)間[-π3，π4]上的最大值是2，則ω的最小值等于()
A.23 B.32
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 由條件知fπ4=2sinπ4ω=2，∴ω=8k+2，∵ω0，∴ω最小值為2.
11.(文)(2011?煙臺調研)已知tanα=2，則2sin2α+1sin2α=()
A.53 B.-134
C.135 D.134
[答案] D
[解析] ∵tanα=2，∴2sin2α+1sin2α=3sin2α+cos2α2sinαcosα=3tan2α+12tanα=134.
(理)(2011?四川廣元診斷)tan10°+tan50°+tan120°tan10°?tan50°的值應是()
A.-1 B.1
C.-3 D.3
[答案] C
[解析]
原式=tan?10°+50°??1-tan10°tan50°?-tan60°tan10°tan50°
=3-3tan10°tan50°-3tan10°tan50°=-3.
12.(2011?溫州八校期末)在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，設命題p：asinB=bsinC=csinA，命題q：△ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的`()
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
[答案] C
[解析] ∵asinB=bsinC=csinA，
∴由正弦定理得sinAsinB=sinBsinC=sinCsinA，
∴sinA=sinB=sinC，即a=b=c，∴p?q，故選C.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13.(文)(2011?山東日照調研)在△ABC中，若a=b=1，c=3，則∠C=________.
[答案] 2π3
[解析] cosC=a2+b2-c22ab=1+1-32=-12，∴C=2π3.
(理)(2011?四川資陽模擬)在△ABC中，∠A=π3，BC=3，AB=6，則∠C=________.
[答案] π4
[解析] 由正弦定理得3sinπ3=6sinC，∴sinC=22，∵AB14.(2011?山東濰坊一中期末)若tanα=2，tan(β-α)=3，則tan(β-2α)的值為________.
[答案] 17
[解析] tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]
=tan?β-α?-tanα1+tan?β-α??tanα=3-21+3×2=17.
15.(2011?安徽百校論壇聯(lián)考)已知f(x)=2sin2x-π6-m在x∈[0，π2]上有兩個不同的零點，則m的取值范圍是________.
[答案] [-1,2]
[解析] f(x)在[0，π2]上有兩個不同零點，即方程f(x)=0在[0，π2]上有兩個不同實數(shù)解，
∴y=2sin2x-π6，x∈[0，π2]與y=m有兩個不同交點，
∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤5π6，
∴-12≤sin(2x-π6)≤1，∴-1≤y≤2，∴-1≤m≤2.
16.(2011?四川廣元診斷)對于函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x∈R)給出下列命題：①f(x)的最小正周期為2π;②f(x)在區(qū)間[π2，5π8]上是減函數(shù);③直線x=π8是f(x)的圖像的一條對稱軸;④f(x)的圖像可以由函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移π4而得到.其中正確命題的序號是________(把你認為正確的都填上).
[答案] ②③
[解析] f(x)=cos2x+sin2x=2sin2x+π4，最小正周期T=π;由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，故f(x)在區(qū)間[π2，5π8]上是減函數(shù);當x=π8時，2x+π4=π2，∴x=π8是f(x)的圖象的一條對軸稱;y=2sin2x的圖象向左平移π4個單位得到的圖象對應函數(shù)為y=2sin2x+π4，即y=2sin2x+π2，因此只有②③正確.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)(2011?煙臺調研)向量m=(a+1，sinx)，n=(1,4cos(x+π6))，設函數(shù)g(x)=m?n(a∈R，且a為常數(shù)).
(1)若a為任意實數(shù)，求g(x)的最小正周期;
(2)若g(x)在[0，π3)上的最大值與最小值之和為7，求a的值.
[解析] g(x)=m?n=a+1+4sinxcos(x+π6)
=3sin2x-2sin2x+a+1
=3sin2x+cos2x+a
=2sin(2x+π6)+a
(1)g(x)=2sin(2x+π6)+a，T=π.
(2)∵0≤xπ3，∴π6≤2x+π65π6
當2x+π6=π2，即x=π6時，ymax=2+a.
當2x+π6=π6，即x=0時，ymin=1+a，
故a+1+2+a=7，即a=2.
18.(本小題滿分12分)(2011?四川資陽模擬)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A0，ωφπ)在x=π6取得最大值2，方程f(x)=0的兩個根為x1、x2，且|x1-x2|的最小值為π.
(1)求f(x);
(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上各點的橫坐標壓縮到原來的12，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在[-π4，π4]上的值域.
[解析] (1)由題意A=2，函數(shù)f(x)最小正周期為2π，即2πω=2π，∴ω=1.
從而f(x)=2sin(x+φ)，∵fπ6=2，
∴sinπ6+φ=1，則π6+φ=π2+2kπ，即φ=π3+2kπ，
∵0π，∴φ=π3.故f(x)=2sinx+π3.
(2)可知g(x)=2sin2x+π3，
當x∈[-π4，π4]時，2x+π3∈[-π6，5π6]，則
sin2x+π3∈[-12，1]，
故函數(shù)g(x)的值域是[-1,2].
19.(本小題滿分12分)(2011?山西太原調研)在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin2A+B2-cos2C=72.
(1)求角C的大小;
(2)求△ABC的面積.
[解析] (1)∵A+B+C=180°，4sin2A+B2-cos2C=72.∴4cos2C2-cos2C=72，
∴4?1+cosC2-(2cos2C-1)=72，
∴4cos2C-4cosC+1=0，解得cosC=12，
∵0°(2)∵c2=a2+b2-2abcosC，
∴7=(a+b)2-3ab，解得ab=6.
∴S△ABC=12absinC=12×6×32=332.
20.(本小題滿分12分)(2011?遼寧大連聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若fα2=45，0π3，求cosα的值.
[解析] (1)由圖象知A=1
f(x)的最小正周期T=4×5π12-π6=π，故ω=2πT=2
將點π6，1代入f(x)的解析式得sinπ3+φ=1，
又|φ|π2，∴φ=π6
故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin2x+π6
(2)fα2=45，即sinα+π6=45，又0π3，
∴π6α+π6π2，∴cosα+π6=35.
又cosα=[(α+π6)-π6]
=cosα+π6cosπ6+sinα+π6sinπ6=33+410.
21.(本小題滿分12分)(文)(2011?浙江寧波八校聯(lián)考)A、B是單位圓O上的動點，且A、B分別在第一、二象限，C是圓O與x軸正半軸的交點，△AOB為等腰直角三角形.記∠AOC=α.
(1)若A點的坐標為35，45，求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值;
(2)求|BC|2的取值范圍.
[解析] (1)∵tanα=4535=43，
∴原式=tan2α+2tanα2-tan2α=20.
(2)A(cosα，sinα)，B(cos(α+π2)，sin(α+π2))，且C(1,0)
|BC|2=[cos(α+π2)-1]2+sin2(α+π2)=2+2sinα
而A，B分別在第一、二象限，α∈0，π2，
∴|BC|2的取值范圍是(2,4).
(理)(2011?華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯(lián)考)A、B、C為△ABC的三個內角，且其對邊分別為a、b、c，若m=-cosA2，sinA2，n=cosA2，sinA2，且m?n=12.
(1)求角A的大小;
(2)若a=23，三角形面積S=3，求b+c的值.
[解析] (1)m?n=-cos2A2+sin2A2=-cosA=12，
∴cosA=-12，∵A∈(0°，180°)，∴A=120°.
(2)S△ABC=12bcsin120°=3
∴bc=4，
又∵a2=b2+c2-2bccos120°
=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12，
∴b+c=4.
22.(本小題滿分12分)(2011?黑龍江哈六中期末)在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，C=π3.
(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;
(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面積.
[解析] (1)由余弦定理及已知條件得，a2+b2-ab=4，又因為△ABC的面積等于3，所以12absinC=3，得ab=4.聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.
(2)由題意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0時，A=π2，B=π6，a=433，b=233，
當cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，
解得a=233，b=433.
所以△ABC的面積S=12absinC=233.
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