全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題5及答案

　　全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（五）

　　第一試

　　一、 選擇題：（每小題6分，共36分）

　　1、空間中n（n≥3）個平面，其中任意三個平面無公垂面．那么，下面四個

　　結論

　　（1） 沒有任何兩個平面互相平行；

　　（2） 沒有任何三個平面相交于一條直線； （3） 平面間的任意兩條交線都不平行；

　�。�4） 平面間的每一條交線均與n 2個平面相交． 其中，正確的個數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

　　2、若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當c∈(a,b)

　　時，f(c)的近似值可表示為

　�。ˋ）

　　f a f b

　　2

　　a b

　　（B）f

　　2

　�。–）

　　b c f a c a f b

　　b a（D）f a

　　c a

　　f b f a b a

　　3、設a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，則

　�。ˋ）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能確定，與a、b的具體取值有關

　　x2y2 3

　　4、設橢圓2 2 1的離心率e ，已知點P 0, 到橢圓上的點的最遠

　　2ab 2 7

　　，則短半軸之長b= 4

　　1111

　�。ˋ） （B） （C） （D）

　　48216

　　5、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，滿足：A中的所有元素可以組成等

　　差數(shù)列．那么，這樣的三元子集A的個數(shù)是

　　距離是

　�。ˋ）C32003

　　22

　�。˙）C1001 C1002

　　22

　�。–）A1001 A1002（D）A32003

　　6、長方體ABCD A1B1C1D1，AC1為體對角線．現(xiàn)以A為球心，AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個同心球，其體積依次為V1、V2、V3、V4，則有 （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能確定，與長方體的棱長有關

　　二、 填空題：（每小題9分，共54分）

　　sin3 cos3

　　1、已知 k，則k的取值范圍為 ．

　　sin cos 2、等差數(shù)列{an}的首項a1=8，且存在惟一的k使得點(k,ak)在圓x2+y2=102上，則這樣的等差數(shù)列共有 個．

　　a

　　3、在四面體P ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，則的取

　　b

　　值范圍為 ．

　　4、動點A對應的復數(shù)為z=4(cos +isin )，定點B對應的復數(shù)為2，點C為線段AB的中點，過點C作AB的垂線交OA與D，則D所在的軌跡方程為 ． 5、 3k被8所除得的余數(shù)為 ．

　　k 12003

　　6、圓周上有100個等分點，以這些點為頂點組成的鈍角三角形的個數(shù)為．

　　三、 （20分）

　　已知拋物線y2=2px(p＞0)的一條長為l的弦AB．求AB中點M到y(tǒng)

　　軸的最短距離，并求出此時點M的坐標．

　　四、 （20分）

　　單位正方體ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為點M，正方形A1B1C1D1的中心為點N，連AN、B1M． （1）求證：AN、B1M為異面直線； （2）求出AN與B1M的夾角．

　　五、 （20分）

　　對正實數(shù)a、b、c．求證：

　　a2 8bcb2 8acc2 8ab

　　≥9．

　　abc

　　第二試

　　一、 （50分）

　　設ABCD是面積為2的長方形，P為邊CD上的一點，Q為△PAB的內(nèi)切圓與邊AB的切點．乘積PA·PB的值隨著長方形ABCD及點P的變化而變化，當PA·PB取最小值時， （1）證明：AB≥2BC； （2）求AQ·BQ的值．

　　二、 （50分）

　　給定由正整數(shù)組成的數(shù)列

　　a1 1,a2 2

　　（n≥1）．

　　an 2 an 1 an

　�。�1）求證：數(shù)列相鄰項組成的無窮個整點

　　(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…

　　均在曲線x2+xy y2+1=0上．

　　（2）若設f(x)=xn+xn-1 anx an-1，g(x)=x2 x 1，證明：g(x)整除f(x)．

　　三、 （50分）

　　我們稱A1,A2,…,An為集合A的一個n分劃，如果 （1）A1 A2 An A； （2）Ai Aj ，1≤i＜j≤n．

　　求最小正整數(shù)m，使得對A＝{1,2,…,m}的任意一個13分劃A1,A2,…,A13，一定存在某個集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有兩個元素a、b

　　9

　　滿足b＜a≤b．

　　8

　　參考答案

　　第一試

　　二、填空題：

　　1 1

　　1、 1, ,1 ；

　　2 2

　　2、17；

　　2

　　x 1 4、

　　3、 2 3,1 ；

　　5、4；

　　4

　　y2

　　1； 3

　　6、117600．

　　l2 l2

　　,0 ,0 l 2p,M 8p8p

　　三、 ．

　　l ppl l p,l 2p,M 2

　　2,2 p 2

　　四、（1）證略；

　　五、證略．

　�。�2）arccos

　　2． 3

　　第二試

　　一、（1）證略（提示：用面積法，得PA·PB最小值為2，此時∠APB＝90°）； （2）AQ·BQ=1．

　　二、證略（提示：用數(shù)學歸納法）．

　　三、m=117．

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