高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一必修一各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章 集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個(gè)特性：
   1. 元素的確定性如：世界上最高的山
   2. 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
   3. 元素的無(wú)序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}
2. 集合的表示方法：列舉法與描述法。

• 注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N

正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R

1. 列舉法：{a,b,c……}
2. 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3. 語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4. Venn圖:

4、集合的分類：

• 1. 有限集 含有有限個(gè)元素的集合
  2. 無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合
  3. 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x²=－5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2．“相等”關(guān)系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè) A={x|x²-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A≠ B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同時(shí) BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

• 有n個(gè)元素的集合，含有2ⁿ個(gè)子集，2^n-1個(gè)真子集

三、集合的運(yùn)算

例題：

1.下列四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是 （ ）

A某班所有高個(gè)子的學(xué)生 B著名的藝術(shù)家 C一切很大的書(shū) D 倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)

2.集合{a，b，c }的真子集共有 個(gè)

3.若集合M={y|y=x²-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關(guān)系是 .

4.設(shè)集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是

5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有40人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有31人，

兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有 人。

6. 用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合M= .

7.已知集合A={x| x²+2x-8=0}, B={x| x²-5x+6=0}, C={x| x²-mx+m²-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域．

注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零；

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.

• 相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)）；②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)

2．值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上 .

(2) 畫(huà)法

1. 描點(diǎn)法：
2. 圖象變換法

常用變換方法有三種

1. 平移變換
2. 伸縮變換
3. 對(duì)稱變換

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間

（2）無(wú)窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”

對(duì)于映射f：A→B來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足：

(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；

(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，當(dāng)x₁<x₂時(shí)，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，當(dāng)x₁<x₂ 時(shí)，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；

（2） 圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A) 定義法：

任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

作差f(x₁)－f(x₂)；

變形（通常是因式分解和配方）；

定號(hào)（即判斷差f(x₁)－f(x₂)的正負(fù)）；

下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）

（1）偶函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

（2）．奇函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；

作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來(lái)判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1. 湊配法
2. 待定系數(shù)法
3. 換元法
4. 消參法

10．函數(shù)最大（�。┲担ǘ�義見(jiàn)課本p36頁(yè)）

利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�

利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�

利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：

⑴ ⑵

2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?img loading="lazy" src="data:image/x-wmf;base64,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" />，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi) _

3.若函數(shù)的定義域?yàn)?img loading="lazy" src="data:image/x-wmf;base64,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" />，則函數(shù)的定義域是

4.函數(shù) ，若，則=

5.求下列函數(shù)的值域：

⑴ ⑵

(3) (4)

6.已知函數(shù)，求函數(shù)，的解析式

7.已知函數(shù)滿足，則= 。

8.設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí)=

9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

⑴ ⑵ ⑶

10.判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．

11.設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證：．

第二章 基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈^*．

• 負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，

2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

，

• 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義

3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

（1）·

（2）

（3）

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；
（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有；

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

（一）對(duì)數(shù)

1．對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：（— 底數(shù)，— 真數(shù)，— 對(duì)數(shù)式）

說(shuō)明： 注意底數(shù)的限制，且；

注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫格式．

兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)；

自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)．

• 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

冪值 真數(shù)

＝ N

底數(shù)

指數(shù) 對(duì)數(shù)

（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果，且，，，那么：

·＋；

－；

注意：換底公式

（，且；，且；）．

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

（1）；（2）．

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．

注意： 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)．

對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：，且．

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

（三）冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；

（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸．

例題：

1. 已知a>0，a0，函數(shù)y=a^x與y=log_a(-x)的圖象只能是　　　　　　 (　 )

2.計(jì)算： ① ;②= ；= ;

③ =

3.函數(shù)y=log(2x²-3x+1)的遞減區(qū)間為

4.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則a=

5.已知，（1）求的定義域（2）求使的的取值范圍

第三章 函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；

（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)．

（1）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）△＝０，方程有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

（3）△＜０，方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。

5.函數(shù)的模型

收集數(shù)據(jù)

畫(huà)散點(diǎn)圖

選擇函數(shù)模型

求函數(shù)模型

用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題

符合實(shí)際

不符合實(shí)際

檢驗(yàn)

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